謎の数学者【アメリカ大学准教授の数学チャンネル】（おすすめch紹介）

チャンネル紹介

2021.12.14

オイラーの公式は定義？複素数の指数関数はどう定義するのか？

(c) 謎の数学者【アメリカ大学准教授の数学チャンネル】　写像に関する動画： https://youtu.be/dk1K_TNAuoA https://youtu.be/z3TTdZQ_zU0 https://youtu.be/pn8bax1l3jE 数学者への …

厳密性は欠けますが、cosx+isinxの微分が-sinx+icosx=i(cosx+isinx)となるのでcosx+isinx=e^ixと定義するのが自然であるという考え方が好きです。

オイラーの公式を定義とすると矛盾がないこと(指数に虚数を入れるという直感的に｢自然｣な操作で得られた｢仮の｣式が、じつはwell-defined)が、これの美しさだと思う

すごく有難いです。実数関数をそのまま複素数に適用するケースを見るたびにもやもやしていたのですが、まずは定義が必要と説明され、すっきりしました。やはりそうですよね。YouTubeにはびこる解析接続の話も斬って下さい。

数学の公式で「美しい」と感じる一つのパターンは、ある概念ででてくる量とこれとは別の概念で出てくる量が結びつくというのがあると、個人的には思っています（Gauss-Bonnet theoremなんかはそうでしょうか）。オイラーの公式を高校生で見たときは、まさのそんな感じをうけたのですが、あとでちゃんと勉強すると、(e^zを級数展開で定義したところで）そうでもないよな～と印象が変わりましたね。

本題とは逸れますが、e^iπ = -1 が美しいというのであれば、半径比率における円周率 τ = 2π を用いた e^iτ = 1 の方が美しいと思ってしまいます。

よくわかりました。ありがとうざいます。後世の視点ではnaiveなアイデア（不完全な議論）だけども，それらを厳密化する（厳密に論証していく）ことが数学の発展そのものなのかなとも思います。素人的に面白いトピックでした。

定理と定義は数と図形の関係に似ていると思います。定量化できますね。定義によって

え、感動するほど美しいと思ってました笑私自身が物理and化学屋さんやからかな。とにかく、この公式は道具として息をするように使うので、泣く子も黙るほど便利なのは確かです。

なるほど！それならば謎の数学者さんが世界三大美しい公式を選ぶとしたらどうなるんでしょうか？

やっぱり、そうですか。そう考えると、e^iπ=-1も美しいというより、とんちの利いた面白数式に見えます。

普通に定義という認識でしたそう定義するといろんなもんがとてもうまく説明できるので便利4回微分すると元に戻る性質を三角関数で表すのは自然な発想

e^(iπ)　+　1=　0　と表記すると、e、i、π、1、0という基本的な数が結び付けられており、「美しい」という端的な表現もあるかもしれませんが、むしろ、「何か深遠なものの気配を禁じ得ない」というのが、高校生の頃に初見した際の私の率直な感想でした。

「数学者向けの数式の人気投票では，ほとんどの場合に最上位に君臨する数式である」by 高橋浩樹（広島大学）当時まあ、日本とアメリカの違いですかね。謎の数学者の美しい公式を知りたい、ぜひぜひ。

オイラーの公式を忘れた気持ちで見ると、e^(x+iy)=e^x(cosy+i siny)がいきなり出てきてこれが定義ですって言われても、えぇなんでぇ？？って感じるなあ。

これ数年間なんとなく気になってたのでありがたいです

数学徒じゃないんですけど、オイラーの公式が成り立つのは2π対称性を持つように虚軸と複素平面を定義したからって解釈していいんでしょうか？

ちょうど気になってた話題を解説してくださりありがとうございます

では謎の数学者さんの世界で1番美しいと思う公式、定理はなんですか

確かによく美しいだの言われる定義としてどちらを採用してもオイラーの公式が得られるから、いわゆるオイラーの等式はそれに代入しただけだから美しいとか言われても^^;みたいになる

証明にバグがあるけど出回ってしまったから仕様(定義)にしますね実用上問題ないし・・・ってこと？そういうアバウトさがもっとあってもいいと思う

数学基礎論が衰退したのは何故か？理由を考察

(c) 謎の数学者【アメリカ大学准教授の数学チャンネル】　前回の動画（数学基礎論について） https://youtu.be/jIPjkGPecnE 数学者への道：https://youtube.com/playlist?list=PLtMOHOy6HiqzAkOC-fabqgSMVWY8ylowX 現役 …

基礎論は計算機の基礎理論（チューリングやノイマン）になったことで非常に大きな役目を果たし、計算機科学に受け継がれていったという点は強調すべきでしょう。また、証明論にも触れるべきで、これの現代的な成果であるcoqなどの証明支援システムがさらに発展して証明の厳密なチェックや自動証明が容易にできるようになったら数学全体の発展に寄与することになるでしょう。

修士でモデル理論を勉強していましたが、おっしゃる通りだと思います。私を含め好きな人は好きなんでしょうが、他分野の数学者の関心はほとんどないように感じました。数学を基礎づける分野というより、非常にマニアックな独自の世界といった感想を持ちました。

P≠NP予想が残っている限り、絶滅はしない分野と思うけどね。

数学基礎論の最大の功績は「基礎論的な事は数学をやる上で気にしなくていい」と世に知らしめた事かも知れないですね

学部が数学科で、大学院でCS（情報科学）に移りました。学位は機械学習でとりました。数学基礎論は数学科のなかでは1分野という印象でしたが、CSではLogicは至るところで出会いました。自然言語処理、DB、人工知能、ソフトエア工学、プログラム言語理論など。CSのなかではLogicが好きな先生が多いなという印象でした。そのころ（2000年代前半）は飯田隆先生の『論理の哲学』（講談社選書メチエ）をよく読んでいました。Logicと機械学習との関連ですが、ちょっと前までは、照井一成先生の『コンピュータは数学者になれるのか？』(青土社）を関心がありました。Logic好きな人達が周りに多いので今後の展開に期待しています。

いまLogicとか学んでいる人たちは数学ではなく論理学や哲学の方へ行っちゃうんですかね

数学基礎論が他分野との関連性が薄まっているというのは単なる誤解であると思う．数学基礎論は数理論理学とほぼ同義で，広義には数理哲学も含まれるが数学的な分科だけを大まかにあげても，他の数学分野と関連が深い．特に歴史的には解析学のある構造の明白な記述のために生み出されたのが集合論であることからもわかるように，まず解析全般と論理学・集合論との関係は深い．同じく顕著なつながりとしては計算機科学と密接に関連する計算理論（計算可能性及び計算量の理論など）は証明論と深く交わっていて，最近は量子論理や情報理論にも数学基礎論の一部ツールが利用されている．量子力学では「線形作用素」と「固有値」という対象があるが，これは作用素環論という数学理論によってうまく構造を説明できる．しかし，作用素と固有値の物理的関係や意味については作用素環論は何も語ってくれない．これに充分な解釈を与えうるアイディアを基礎論は持っている．そのよい比較物となっているのが実数の部分クラスの指定だろう．ロジシャンではない数学者が数学基礎論を眺めたとき，忌避感を覚える理由としては「今まで自分たちが使っていたキラーアプリがことごとく使えない」場所に放り出されるからだろう．数学基礎論で扱う方法論やツールは一般数学以上に荒っぽい．例えば集合の濃度や，論理式の複雑さを階層化・定量化しようとする定義可能性・記述性などの指標を見ればわかるだろう．これらは単純で頑強だが，およそ一般の数学で重用される多くの便利な数学的構造を保てない．つまり，かなり初歩の段階から学び直さなければならない．しかし，荒っぽい視点は精緻な構造を解析することには向かないが，およそ一般数学の方法論では全く歯が立たないような深遠な構造の大まかな理解を得るには有用となる．この動画を見て参考にしようとしている人たちに知っておいてもらいたい重要なことが一つある．数学基礎論の意義や興味深さを知りたいと思うなら，数学基礎論の専門家に教えを乞うべきである．自動車を作りたいと思っているのにレーサーに弟子入りして「クルマづくりはオワコン」と教わるのなら滑稽である．

とても勉強になりました。「『そもそもなぜこんなことを考えるんだろう？』という疑問を突き詰めていくことが真の理解には不可欠なんだ！」と私は考えがちなので、数学の基礎論への関心が近年薄まっているという話は驚きが大きかったです。いつも興味深い動画をありがとうございます。

物理学にとっての数学みたいに感じた

（研究人口という観点からの）衰退の事実と考えられるその理由を説明するのは構いませんが、それをするのであれば、前置きとして、数学に対する数学基礎論の重要性は強調しておくべきだと思います。数学基礎論を全くいらないと考えていらっしゃるなら話は別ですが。

ただの言葉の問題かもしれませんが、基礎論の人がやってるのは「なぜ１＋１が２になるのか」ではなく、「１＋１が２になることをどう形式的に扱うか（定義するか）」だと思います。なぜ１＋１が２になるのかという哲学的問はたぶん基礎論の人も興味ないですね

CS系の研究室でまさにこの数学基礎論を学びました。コンピュータを理論的に正しく扱う分野です。ただ、やはりCS系でも完全に廃れた分野になってましたね、、同じ道を辿っています

今から数学基礎論系の研究者を目指すのはやめた方が良いのでしょうか？

多分ゲーデルをみんな学ぶと思うけど、この道はやばいと何となく悟る。証明そのものに強烈な違和感というか、なんか論理遊びのような感覚になるんですよね。

チャンネル登録者数1000人達成おめでとうございます（強くてニューゲーム）

普段、プログラミングやアプリで動画編集している人が、機械語に興味が湧かないのと同じ様な感じなんですかね。体系と構造の関係というか。

僕は、数学は役に立つ立たないではなく、楽しむものだと考えています。大多数が興味ないからといって、疎かにするのはどうかと思いました。

小学生の頃に数学基礎論に興味をもったけど、けっきょく分析哲学の方にいってしまった高校生です完全におっしゃる通りだと思います

1970年代は鳴り物入りで「小学校で集合」が扱われた年代なのにね。この動画が正しいなら、オワコンの方向に数学教育がわざわざ進んでいったということ？高校数学で直感的に微積を扱う時に、微小増分なんて考えて良いというのは超準解析の存在でそれが正しいことが担保されているから…なんて聞いたことがあるなあ。

数学基礎論の数学史を学べるような本ってありますか？

数学科で学ぶ数学の概観。大学ではこんな数学を学びます。数学の三本柱。

(c) 謎の数学者【アメリカ大学准教授の数学チャンネル】　動画内で言及した過去動画カリキュラムの問題点：https://youtu.be/78os69XZrSk 極限の厳密な定義：https://youtu.be/W52y53w6bNk ＭＭ（数学的成熟 …

動画内で言及した過去動画カリキュラムの問題点：https://youtu.be/78os69XZrSk 極限の厳密な定義：https://youtu.be/W52y53w6bNk ＭＭ（数学的成熟度）：https://youtu.be/jAoKS9iBZVA

微分多様体ってそんなに難しい概念なんですね……！知らずに2年の秋に授業で習ってた……その割にすんなり理解した気になれたので、教授が凄かったんだなぁと言う感じですね

大学で数学を専好して、卒業後数学とは全く関係しない職業に就職して、４０年後に定年退職して、数学をやり直しています。謎の数学者さんのMM（数学的成熟度）に共感しています。ボクの目標はガロア理論を人に説明できる程度まで理解したのち、高木貞治の類体論を理解することです。これを生きているうちに理解したいです。

以前あげてた経済の基礎の再アップ希望です。あっちでもいいですので^ ^

文系学生です。いつも楽しく拝見しています。「複」の字ですが、左のへんのところにもう1つ点が必要みたいです！

数学の本はいろいろとありますが、やはり『岩波の数学辞典』が最適ですかね。日本の数学者の多くの人が参考にしていますよね！　日本数学会編集は【関孝和】の命令かな！

ありがとうございます

楽しく拝見しました。もう少し３本柱の先まで解説みたいです。　具体的には、代数幾何学や数論幾何学や作用素論や佐藤幹夫先生の数学、Twitterで賢い人たちが話ししている圏論とかはどこから勉強が始まるのかというところが個人的には気になります。

抽象代数の線形代数→加群あたりでついていけなくなった。加群を足掛かりに可換代数、ホモロジー代数と展開していきそれらの知識をもとにやる代数幾何をやる人たちが神のような存在に思えた。その印象は今でもあります。

初等整数論が代数学の中にない…

計算中心の数学を独学で学ぶには、どんな本がオススメですか？

「位相空間・連続写像」の知識は「複素解析」「測度論」を学ぶうえである程度は必要ですか？

私は数学科じゃなくて情報工学専攻ですが、大学1年生の最初の授業でε-δ論法を説明されて「大学の勉強に着いていけそうにない」と絶望を感じてしまいました…最終的にはトップの成績で卒業できたものの、「最初の絶望は要らんかったやろ」という気持ちです。

数学が嫌いな人に救いはあるのでしょうか？

全微分とは？微分形式への入門。

(c) 謎の数学者【アメリカ大学准教授の数学チャンネル】　べき乗は英語で：https://youtu.be/8IZL21Xz2bc 誤字脱字について：https://youtu.be/3CrvOTCc_gY 数学者への …

45年ぶりくらいに教養部の微分積分学の講義が腑に落ちました。感謝です。先生のような方に教わっていれば文系に変わらなかったかもしれません。今の人たちはインターネットで必要な知識が得られるのでうらやましいです。

重積分の変数変換時のヤコビアンに　全微分が活躍したと思います。この辺まで拡大解説をお願いします。

大変分かりやすかったです！ありがとうございます！

大学院で微分形式まで学習したときに、それまで別々だった色々なものが繋がって感動したことを思い出しました。

d〇は単に「微小な〇の変化量」の意味で、dxは微小なxの変化量lim Δx→0 (Δx)の事だと習ったそしてd(関数)は「関数の変化量、だけど変数の変化量はΔ〇ではなくd〇が使われてますよ」の微小な関数の変化量？的なシンボルだと思ってただからf(x)の時、df＝f(x+dx)-f(x)2変数のf(x,y)の時、df＝f(x+dx,y)-f(x,y) + f(x,y+dy)-f(x,y)　イメージは勾配のある平行四辺形っぽくでもこれだと計算しずらいから、それぞれdxとdyで割って偏微分の形を作りdf＝(∂f/∂x)dx＋(∂f/∂y)dyにしたんだと思ってた

今までの動画の中で、個人的には一番面白かったです

微分のd/dxも、積分の∫〜dxもなんらかの数字ではなく記号ですと高校で教わってたから、理学部1年にして早くもこれでつまずいてたなあ。

わかりやすい！

n 変数関数がある点で微分可能という場合、その点で１次関数で近似できるということだと理解してるんですが、今回の話でいうと全微分できるということですかね？

わかりやすい

多様体論を履修すれば学部でも習えると思います５

高校では、dxの意味はいつか習うよで飛ばされたでも大学でもdxの意味も習わないまま現在に至る

11:23 東京大学数学科では、微分形式と de Rahm コホモロジーを扱う学部 3, 4 年生向けの講義（選択必修）があります

私は工学畑の出身なのでいわゆる厳密な微分積分とは無縁で、’微分’ も単純に「微小変化」のことであると理解してこれまで過ごしてきました。それで何の支障もなかったのです。しかし、同時に学生時代に眺めただけの「解析概論」の ‘微分’ の説明がさっぱりわからず（何かいいわけがましい説明）、それがずっと気になっていたことも確かです。　’微分’ dy、dx は関数でも数でもない。なのになぜ dy/dx は導関数になるのか？　このことが今もってさっぱりわかりません。工学者や物理学者の手になる微積分の教科書はほとんどもれなく ‘微分’ の説明がありますが、その説明は直感的・素朴なものです。　そのせいか数学者の手になる微分積分の教科書には ‘微分’ の概念を放り出しているものもあります。斎藤雅彦の「微分積分学」がそうで、1変数の微分はもちろんのこと、2変数でも全微分に触れていません。　難しいことを初等的に説明することは、それこそ至難の業とは思いますが、1次微分形式についてもう少し立ち入った説明が聞けたら幸いです。

僕が習ったときは微分形式習ってないのに微分形式使うのはおかしいと先生が言ってフレシェ微分で定義されました

曲面上の各点にベクトル空間をくれると思ってる。

cotangent bundleさえ分かれば…！（非数学科）

dfはR^2からT^＊(R^2)への写像ではなく、fのグラフXという多様体からXのcotangent bundle T^＊(X)への写像ではないんですか？

全微分、技術職に進むと案外使うときが来るんですよね。高校では微分はdy/dxという分数の形で扱ったのに、大学に入って全微分が出てきて微分なのにdyだけを扱い始めるので面食らったな･･･。

何か得られると思ったけどよくわからんかったw

写像とは何か？【ひろゆき】さんにも分かるように現役数学者が説明します。

(c) 謎の数学者【アメリカ大学准教授の数学チャンネル】　べき乗を英語で：https://youtu.be/8IZL21Xz2bc 数学者への道：https://youtube.com/playlist?list=PLtMOHOy6HiqzAkOC-fabqgSMVWY8ylowX 現役数学者が教える …

ひろゆきさんの話は結構おもしろい。でも自分の専門分野の話だとずれてるなって思う時が結構ある。てか先生もひろゆきさん知ってるんですね。

スーツさんも今日の動画でひろゆきさんを取り上げてました。ひろゆきさん、大人気だなあ。😄

物理出身なんで、数学大雑把勢なんですが、多価関数はどう言う扱いになるのでしょうか？

あの動画見た時、副垢みたいな一意性に反する例や、インターネットを使わない人みたいな定義できない元もたくさんあるから写像とは言えないと思った。

お！アイデア採用してもらえたか？？伸びてくれ🙏高校で習った写像といえば、ベクトルだったかな？3Dを2Dに投影するやつ。影絵みたいなイメージですね。ここまでシンプルかつ抽象的に解説されると、どう重要な概念になってくるのか、逆に分かりません…😅

インターネット世界では、現実世界の人間が２つ以上の名前やアカウントを持てるわけだから、数学的に見て写像じゃないじゃんね笑

写像って、高校倫理でも習うよね？ウィトゲンシュタインの前期の考えで”言語は現実の事象の写像だ”っていう写像理論。

難しいな。リレーショナルデータベースみたいなもんですかね。

量子的な写像はどうなるんだろう、などと妄想しました。

それってあなたの関数ですよね？

map する先が set である事は許容されるんでしょうか。一休さんみたいな事を言っているかもしれませんが。。。つまり、1→ { 1, -1 }2→ { 2, -2 }の様な事です。２つの値に map している様でもあり、そうでもないようにも思えます。

いわゆる「多値関数」は写像じゃないよ～という意識がつよかったので、f:X→Yの「多値関数」がf:X→2^Y　と考えればちゃんとした写像ととらえれることを知ったときには、目から鱗でした。