MathLABO〜東大発「みんなでつくる」数学ベスト良問集〜（マスラボ）（おすすめch紹介）

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2021.12.24

あなたの”数学力”がわかります（2017 大阪府立大）

(c) MathLABO〜東大発「みんなでつくる」数学ベスト良問集〜（マスラボ）　定石で攻めるか、あえて他の解法で攻めるか。どちらで攻めても答えが求まるのが数学の嬉しいところですね。（ただぜひ複数の解法は …

条件が厳しいものを残して、条件が緩いものを消去するという鉄則を知っておこう！！東大模試とか、難問問題で必要になるよ！！条件が厳しいというのは、集合の範囲が狭いイメージのもので、条件が緩いというのは集合の範囲が広いイメージ具体的には、x:実数とy:無理数だったら、無理数の方が集合の範囲が狭いからyを残すx:整数とy:自然数だったら、自然数の方が狭いからyを残す

やさ理並みの変わった解法を考えようと思ったけど結局変な事考えないで基本に忠実に処理するのが大切だと思った。

別解で、下の式にa掛けて辺々足してy消去し、aについての2次方程式とみて判別式の実数解条件でxの範囲を絞る、方法でも同じ答えにたどり着きました。

数学3Cを用いた脳筋解法を紹介します。理系の方は、この方法で解いた方も多いかも。【別解】 (i)a=0のとき連立方程式を解いて、x=0,y=-3。 aは実数であり、x,yは整数なので、これらは題意を満たす。 (ii)a=-2のとき連立方程式を解いて、x=-2,y=-3。 aは実数であり、x,yは整数なので、これらは題意を満たす。 (iii)aが0ではなく、かつ、aが-2でないとき aを消去することで、下記を得る。 x = 3a /(a^2 + 2a + 3)…➀ y = -9 /(a^2 + 2a + 3)…② ➀について、x を実数 a の関数とみなすと、 a→±∞のとき、x→0である。また、a→ -2 のとき、x→ -2 である。また、a→ 0 のとき、x→ 0 である。また、x は a = -√3 で極小値 -3(√3 + 1) /4 をとる。また、x は a = √3 で極大値 3(√3 – 1) /4 をとる。さらに、-3(√3 + 1) /4 > -3(2 + 1) /4 = -9/4 > -3である。さらに、3(√3 – 1) /4 < 3(2 – 1) /4 = 3/4 < 1である。以上のことから、aが 0 と -2 を取らないことに注意して ➀のグラフを描くと、x が整数であることから、 x = -2,-1 が必要となる。（ア）x=-2 のとき ➀に代入して、a = -3/2 を得る。（a = -2 は不適）この a の値を②に代入して、y = -4 を得る。 aは実数であり、x,yは整数なので、これらは題意を満たす。（イ）x=-1 のとき ➀に代入して、a = (-5±√13) / 2 を得る。この a の値を②に代入して、y = (-5∓√13) / 2 を得る。（復号同順）しかし、y は整数より、不適。 (i)～(iii)より、 (x , y , a) = (0 , -3 , 0) , (-2 , -3 , -2) , (-2 , -4 , -3/2)

(y+3)²+(y-2x)²+2x²=9 として求めました。左辺が2乗の形が3つも出るので、値が絞り込みやすいです。

この連立方程式を行列で表して係数行列の行列式が-a^2-2a-3となり、逆行列を眺めると、行列式が3か－3になる必要があることがわかり、そこからa=0,-2と求められました。

文字は比較的条件の厳しいものを残す事を原則とすると上手くいきます今回はx,yは整数、aは実数とaのみ条件が緩いのでa消去の発想は自然に思いつきます

同値変形が試されている良い問題ですね！

最初にa=-2と仮定して(x,y)が整数を満たすことを示してから、次にa≠-2で①②を同値変形してやったら解2に辿り着いた【方針】a:-2でない実数、x,y:整数であることに注意する(注意:集合論に使う記号がないのではじめに前提で記述)①&②<=>①×(a+2)-②×3 & ① (②でも良い)<=>(a^2+2a+3)y=-9 & ①後はyの存在条件で処理する感じ(<=>:同値記号、&:かつ)

別解思いついたら数学まじで楽しいだろうなあ

aが複素数の場合、(ii)の解法では難しくなりますね。

3変数あって与式2個のとこ、だいたい2/3は聞き取れました！

2つ目の式をy＝の形にして、1つ目の式に代入。それをx＝の形にすると部分分数分解ができるから、分数を＝k、＝N(k、Nは整数)と置いて、両方をa＝の形にして結んで、kとNの候補を……..でも行けそうだけど面倒くさすぎた

aを消去して、xの二次方程式として判別式Dを使えばyが限定されるので、代入して終わりですね。

最初に②の式を変形してy=(a+2)x-3にして①に代入してaの式にして実数解を持つから判別式を解いたら、xの整数としてあり得る数値がx=-2,-1,0となって代入していきました。答えはあってたけど大丈夫ですかね？

aを消去してyが実数解をもつ→xの範囲から整数解　でしました。

解法2で、a^2+2a+3=3,9(9の約数で2以上)のときyは整数だから、a=0,-2(y=-3)a=0のとき①からx=0a=-2のとき①からx=-2以上より、(x,y,a)=(0,-3,0),(-2,-3,-2)ってするかなー

めっちゃ良いな

微分と極限使ってx=f（a）の曲線のグラフを書くことで整数xの必要条件を求めた人は、私だけかもですね。グラフの形が美しいから、1度は試して欲しい解法です。(^^)

最近ワイヤレスイヤホンがバグって動画見てる途中からスバルさんが複数人でわちゃわちゃ喋りだして訳分からんくなる笑(多分いくつかの場面の音声が同時に再生されてる感じ)

良問再来！絶対に解けてほしい有名問題

(c) MathLABO〜東大発「みんなでつくる」数学ベスト良問集〜（マスラボ）　PASSLABOの過去動画はこちらです（最大最小） https://www.youtube.com/watch?v=Qz-75EFd0qM 三角関数の分数式の最大最小問題 …

傾きの問題の時は(2,1)中心で円を描くほうが個人的には計算が楽な気がします

動画の方が簡単ですが、一応微分で解く方法も書いておきます。 cosθ=xとおいて、 f(x)=(1+√(1-x²))/(2+x) (-1≦x≦1) f'(x)=-(√(1-x²)+2x+1)/(2+x)²√(1-x²) x=(cosθ=)-4/5で極大値4/3、x=1で最小値1/3

x²+y²=1上の点(cosθ, sinθ)と(-2, -1)を通る直線の傾きであるとしか思いつかなかった･･･

y軸とy<0を満たす円の交点をBとしてθ=<P1ABとするとP2ABはtanの加法定理でも求められますね

直線AP2の式は、円の方程式を微分して求めるのも良さそう。θの範囲指定のおかげで、±を考慮しなくていいし。

最大値をとるときのθの値はα(tanα＝－3/4を満たす）であってますか？

いつかの前の動画で三角関数の分数式は傾きにするってやつここで見たから行けた！成長している…！

思いつけなかった悔しい4:23 よくこんなちょうどいい物差し準備しましたね

こういう問題見ると脳死でcosθ＝tで置いてグラフで考えたくなる

PASSLABO の昔の動画を見ていて解いたことあったので、今日は瞬殺でした〜。

最大値最小値をとるときのそれぞれのθの値は言及しなくてもよいのですか？

東進の無料映像授業で見たけどあんまよく分かんなかった問題はなので助かりました

こんなん思いつかん!じゃなくて経験値として貯めておくべきなんやな…

こういう分数式見ると、すぐに相加・相乗平均とか分母を払っちゃう癖良くないなぁ

すぐに解法が思いつきました

半角の公式とかでなんとか変形しようとしたけと無理だった。。(；ω；目から鱗でした！

θに制限なかったら、線形でおわりなのになぁ

逆像法でもいけますよねめんどいけど

4:47 定規「俺使わへんのかーい」

あんま関係ないんすけど、点P（−sinθ、−cosθ)が原点を中心とする半径1の円上を動くのはなんでなんすか？P（−cosθ、-sinθ)ならわかるんですけど

【正答率10%の因数分解】ひよってる奴いる？(リベンジ)

(c) MathLABO〜東大発「みんなでつくる」数学ベスト良問集〜（マスラボ）　前回ひよったので、リベンジしました。高１で僕も間違えた因数分解です。整数問題の全パターン解説はこちら …

こういう系、初めて解けて嬉しかった。簡単だったのかもだけど少しずつ(他の問題でも)成長感じられているのでこれからも頑張ります！

x^5+x^4+1の因数分解とかもそうだけど、仮に分からなかったとしてもx=2とかx=3とか代入して得られた値を素因数分解すれば法則性から自然と因数分解が見えるのでオススメ

おまけ：アイゼンシュタインの既約判定定理を調べ、答えの式がこれ以上因数分解出来ないことを確認してみよう

高校卒業して13年ほどの者ですが、数学好きだったので、この問題も無事に解くことができました(^-^)

因数定理で解いた複二次式で考えることも忘れないでいようと思った

やっぱり数学面白い

x ^4で割るのも楽しい

因数分解した後のx^4 -x^2+1がこれ以上因数分解できないことを確認する作業がちょっと面倒だった

円を考えると結構簡単にいくっていう

答えあってました！うれしい

解けた自分が少し嬉しい

1の3乗根ωと-1の3乗根ω´ で計算したら0になったから…ってやったんですけど複2次式かい

8乗の時点で2回やるっぽいとわかった

見たことある形だったので初めて速く解けた〜！

これは引っかからずに解けた。

高校1年生ですすぐ分かりました。やっぱ習うことが多くなるとごちゃごちゃしてくるんですかね

「なぐってさする」ってうちの学校の先生は言ってたやつ急に出ると抜け落ちそう

整数係数の範囲内でとは書いてないのでまだ因数分解できるのでは？

これは極形式一択やなぁ

中学の頃、これに似た問題で、x^4+64の因数分解やったことあって解き方に感動した覚えがある。

【面白い数学入試】何桁の整数？←ひっかけ注意！

(c) MathLABO〜東大発「みんなでつくる」数学ベスト良問集〜（マスラボ）　整数問題の全パターン解説はこちら https://youtu.be/thR1ZyXqDLE PASSLABOの数学特化チャンネル開講です！！ MathLABO〜東大 …

(2^148 + 1)/(2^4 +1) < (2^148 )/(2^4 ) 　は0<X<Y, 0<Z の下、(Y+Z)/(X+Z)<Y/X となることを使えばすっきり説明できると思います。これは、視覚的に言えば、「第一象限上のy>x の範囲にある点Ｐと原点を結んだ直線」の傾きは、「点Pと第三象限上のy=x線上にある点Q (-Z,-Z)を結んだ直線」の傾きより大きく、且つZを大きくすればするほど後者の傾きは小さくなる（1に近づく）、ということです。

備忘録‘’70V ｢ Pは整数である｣ことに注意して、 ( 2¹⁴⁸＋1 )／20 < P < ( 2¹⁴⁸＋1 )／16 これより、 ( 2¹⁴⁸＋0 )／20 < P ≦ ( 2¹⁴⁸＋0 )／16 ･･･① ( ⅰ ) 右辺に関して、 ( 2¹⁴⁸＋0 )／16 ＝ 2¹⁴⁴ だから、 log 2¹⁴⁴＝ 144 ・0.3010＝ 43.3··· ( ⅱ ) 左辺に関して、 ( 2¹⁴⁸＋0 )／20 ＝ 2¹⁴⁷／10 だから、 log 2¹⁴⁷／10 ＝ 147 ・0.3010 －1＝ 43.2··· ( ⅰ ) ( ⅱ )と ①より、43.2··· < P ≦ 43.3··· よって、Pは 44桁の整数■

貫太郎さんと違った解法で面白い

与えられた条件で桁数わかるよ。44.548<148log2<44.676 ..(1)これで 2^148 は 45桁。（ちなみに mod17 考えると 2^148+1 は 17 で割り切れる。問題に関係ないけど。）17 で割って桁下がりをいくつ起こすか考えると、(1) で小数点以下第１位が 0.5〜0.6 なんだから最初の数字は少なくとも２以上。だから 17 で割って桁下がりは１だけ。これで 44桁ってわかる。

log10とればええんやろと思ったが不等式の左辺と右辺の絞り方が分からんかった大ざっぱでいいから実験してみるといいんだね

評価のときpより小さい側の分母を32にするとガバガバすぎるかと思い20にして解きましたが分子が大きな数なので32でもいけたんですね！

ゴールから逆算って大事ですね

これは脳死でlogとったら詰みました。自分がどれだけ頭使わずにパターンに落とし込んでいたかわかる良い問題でした🙏

(考察)2^4＝16＝xとおくと(x^37+1)/(x+1)の形になってるから、これはx^36-x^35+…-x+1という等比数列の和と見なせる。求める桁数は、ほとんどx^36の桁数と予想はできる。何故ならば、初項をx^36＝2^144とすると、公比が-x＝-1/16なので、2項目以降は「桁数」にはほとんど影響を及ぼさないからである。私なら最初に解答用紙にここまで書いてから、おもむろに評価を始めるけど。(記述式の試験の場合)

「みんなでつくるますらぼの」　ここまでようやく聞けました。あと一息（笑）

評価できた!小さく考えたら　2の143乗大きく考えたら　2の144乗

宮大落ちたし、面接で圧迫してきたから嫌い…かと言えばそうでないいい思い出

コメントが表示されないな、半角文字が多すぎてスパム判定か？全角文字のみで投稿してみます。（２＾４＋１）×（商）の形に因数分解したあと、商を二進法で計算し表記すると２＾１４３以上２＾１４４未満となるのがわかります。これでおしまい。

評価の仕方が大切な良問でした

フォーカスゴールドの巻末にあったから触れてた〜

こういう問題はガチ計算しても大学教員は快く正解にしてもらえるのかな？来年の入試は(nは自然数とする)n^2022という数に対して何かしらの問題が出ると思うから2<n<10までのn^2022を覚えておくとチートできるかも？

近似式でもいける？

これ整数であることを示す必要があるのでは？　まあ17の剰余系であっさりわかるんだけど。

朝が早すぎるw

鈴木貫太郎さんと同じや

１０億の位を求めよ（群馬大・医）

(c) MathLABO〜東大発「みんなでつくる」数学ベスト良問集〜（マスラボ）　これ、本当に出た入試問題です。計算量がえぐい。さすが医学部。整数問題の全パターン解説はこちら https://youtu.be/thR1ZyXqDLE …

一瞬“10億桁目の数を求めよ〟かと思ってビックリしました。10億の位=10桁目ね……よかったよかっただいたい47桁しかないやんこの計算結果(苦笑)

おはようございます。二項定理の典型的な問題ですね。いつもありがとうございます。自分でも記述を下記にまとめておきます。201^20 の 10^9 の位を求める。201^20 = ( 1 + 200 )^20 = a_{ 0 } + a_{ 1 } + a_{ 2 } + … + a_{ 20 }ただし整数 n ( 0 <= n <= 20 ) に対してa_{ n } = C( 20, n )・20^n具体的な計算よりa_{ 1 } = 4000a_{ 2 } = 0.0076・10^9a_{ 3 } = 9.12・10^9a_{ 4 } = 7752・10^9 = 775・10^10 + 2・10^9n >= 5 に対して a_{ n } は 10^10 で割り切れるのである自然数 N で201^20 = a_{ 0 } + a_{ 1 } + a_{ 2 } + a_{ 3 } + 2・10^9 + 10^10・Nとおける。k = a_{ 0 } + a_{ 1 } + a_{ 2 } + a_{ 3 } + 2・10^9とおき、k を評価する。k > a_{ 3 } + 2・10^9 = 11.12・10^9k < 0.008・10^9 + a_{ 3 } + 2・10^9 = 11.128・10^9これより1.12・10^9 < 201^20 – 10^10・( N + 1 ) < 1.128・10^9以上より、201^20 の 10^9 の位は 1 。

10億って聞くと少し驚くけどほんのちょっと工夫して二項定理で開くだけなんだね…普通に解けたけど他に解法あるかなとか思ってた

今年の鹿児島大の三角関数の比較の問題お願いします🙇‍♂️⤵️

重要問題集にも載ってた！二項定理を使う典型的な問題ですね！

21^200じゃないだけ親切な気がする問題ですね😅

適当に1,2,3,4あたりの数書けば当たりそう

二項定理で関係のある項だけ地道に計算しました。

201=100+100+1と分解して、３項で展開しても解けますね

学者並みの数学能力を持った小学生が作った様な問題

問題文、横書きに漢数字は違和感ありますね…

200+1の20乗を二項展開して最後の5個を足すと7,761,127,604,001。よって1。さすが医学部。これ計算はやりたくない。

この問題１５分前に重問で解いたｗｗコレって運命ですか？

二項定理でやったら200+1だから引き算ないし10億のくらいまでのを計算すれば出来そうやけどなあ