MathLABO〜東大発「みんなでつくる」数学ベスト良問集〜（マスラボ）（おすすめch紹介）

大きい？小さい？【面白い数学クイズ】

(c) MathLABO〜東大発「みんなでつくる」数学ベスト良問集〜（マスラボ）　整数問題の全パターン解説はこちら https://youtu.be/thR1ZyXqDLE PASSLABOの数学特化チャンネル開講です！！ MathLABO〜東大 …

これは小学生ではなく中学生以上の知識で解ける良問です！小学生で流石に難しいかなと。最初「小学校いや中学校の知識で解けます」と言い直したところが編集で「小中学生の知識で解けます」となってます。(僕のミスです)勘違いさせてしまった方申し訳ないです！

(2187=)3^7>2^11(=2048)の両辺を8乗して3^56>2^88、の両辺に(81=)3^4>2^6(=64)を掛けると3^60>2^94、の両辺に2^20を掛けて整理すると54^20>64^19、となります。(よって、64^95より54^100の方が大きい、ので結果、63^100の方がかなり大きい、ことになります。)

こういう解き方がたくさんあって味わい深い問題は、解いてて楽しいけど実際に試験で出たら頭にひっかかって他の問題に影響しそうで危険(^^;

すぐにlog2を取ってしまいましたが、このような解法を身に付けることが必要に思いました。

背理法を用いてみた. 仮定：64⁹⁵ > 63¹⁰⁰ ⇔ 64¹⁹ > 63²⁰ ⇔ 2¹¹⁴ > 3⁴⁰･7²⁰ ⇔ 2⁵⁷ > 3²⁰･7¹⁰ ⇒ 2⁶⁶ > 3²²･7¹²（∵ 2⁹＝512 > 441＝3²･7²） ⇔ 2³³ > 3¹¹･7⁶ ⇒ 2³⁸ > 3¹⁴･7⁶（∵ 2⁵＝32 > 27＝3³） ⇔ 2¹⁹ > 3⁷･7³ ⇒ 2³⁰ > 3¹²･7⁴（∵ 2¹¹＝2048 > 1701＝3⁵･7） ⇔ 2¹⁵ > 3⁶･7² ⇔ 2･(2⁷)² > (3³･7)² ⇔ 2 > (3³･7/2⁷)²＝(189/128)²＝(1＋61/128)²＝1＋2･61/128＋61²/128² ⇔ 2･128 > 128＋2･61＋61²/128 ⇔ 6 > 61²/128 ⇔ 6･128 > 61² ⇔ 768 > 3721 これは矛盾. 従って, 63¹⁰⁰ ≥ 64⁹⁵ となるが, 63¹⁰⁰ は奇数, 64⁹⁵ は偶数なので等号は成立せず. ∴ 63¹⁰⁰ > 64⁹⁵.　▮

唐突ですが、(2の0.75乗)=(2の4分の3乗)の値について考えます。(2の4分の3乗) = (8の4乗根) < (9の4乗根) = √3 < 1.8これより、2^5.75= 2^5 × 2^0.75 < 32×1.8 = 57.6 < 63それぞれ100乗してやりますと、63^100 > 2^575 となります。64の95乗は(2^6)^95 = 2^570 ですので、、64^95 = 2^570 < 2^575 < 63^100 こんな感じでどうでしょう？

発想の組み立ては解１と同じですが、五十年前に習ったロガリズムを思い出しつつ、底２の対数の分数で表記すると機械的な操作で一より大か小かのところに持ち込めると思いやってみました。が、もはや暗算はできず、大小判定はあっていたものの計算違いもやらかした😭歳はとりたくないもんぢゃのお。

63^20と64^19の大小比較で、関数 f(x)=x^(83-x) (63≦x≦64)、g(x)=log(f(x))でg(x)の増減を調べるやり方を思いついたのですが、それはあまり芸が無いですね…

【別解】63^20=(64-1)^20=64^20-20･64^19+20C2･64^18-20C3･64^17+…=(64^20-20･64^19)+(20C2･64^18-20C3･64^17)+…=44･64^19+α > 64^19

4:49 と 10:3764/63=1+(1/63)であることから、(64/63)^10<(64/63)^63≒e　となり、(64/63)^10が８よりも十分小さいことがわかります。

だいぶ出遅れたけど、私も【別解】を作ってみました。P=(63^100)/(64^95)=(63/64)^100 x 64^5 =(63/64 x 2^(1/4))^100 2^(1/2)>1.4 , 2^(1/4)>1.1 なのでP > ((63/64) x 1.1)^100 > 1.08^100 > 1

63^20/64^19＝64*(1-1/64)^20だから2項展開し64(1 – 20/64 + 20*19/2/64^2 – 20*19*18/6/64^3….)=64-20+190/64-60*19/64^2…となり各項の絶対値は単調減少している。頭から2個づつまとめると各ペアは0より大きく最初のペアは44だから合計は明らかに1以上。∴63^19は64^20より大きい。

(1.1)^10 = (1.21)^5 < (1.21)^6 < (1.3)^6 = (1.69)^3 < 2^3 = 8 で計算めっちゃサボれそう

(64/63)^20 < (64/60)^20 = (32/30)^20 = (2^(5・20)/3^20)/10^20 。2^12 = 4096 < 5000 = 10^4/2。3^7 = 2187 > 2000 = 10^3・2 が使えます 。2^(5・20) = (2^12)^8・2^4 < (10^4/2)^8・2^4 = 10^32/2^4。3^20 = (3^7)^3/3 > (10^3・2)^3/3 = 2^3・10^9/3。(64/63)^20 < 3000/128 < 64。[補足](2^(5・20)/3^20)/10^20 < (10^32/2^4)/(2^3・10^9/3)/10^20 = 3・10^3/2^7 = 3000/128。

7^4=2401>2048=2^11 より、log7>11/4.また、log9>log8=3 であるから、log63=log9+log7>3+11/4=5.75>5.7なので、100log63>570=570log2log63^100>log2^570よって、63^100>2^570=64^95つまり、(対数を使わない記述)63^100=7^100×9^100=(7^4)^25×9^100=2401^25×9^100>2048^25×8^100=(2^11)25×(2^3)^100=2^275×2^300=2^575>2^570=(2^6)^95=64^95

有名な問題「e^pi とpi^eの大小を評価せよ」を思い出しました。

‘(ln63)/19=(ln63-0)/(63-44)と(ln64)/20=(ln64-0)/(64-44)の大小関係を判断すればいい。ln(x)のグラフを利用して二点(63,ln63), (44,0)を通る直線の傾きと二点(64,ln64), (44,0)を通る直線の傾きを比べると(ln63)/19>(ln64)/20.’って解法も可能ですか？

動画とは関係ないですがパピルスの問題楽しいですね

確かに、時間はかかるが63を100回と64を95回かければいのか。これは簡単や！

11:47 あれっ？分子は n×(n-1)×(n-2)×・・・×(n-k+1) ではなかったですか？

【伝説の入試数学】特殊すぎる因数分解｜感動の1問を紹介します（横浜国立大2009）

(c) MathLABO〜東大発「みんなでつくる」数学ベスト良問集〜（マスラボ）　この誘導・発想・証明の３点セットは自分が受験生の時に解いた時にも感動を味わいました。初見では難しいかもしれませんが、整数×証明 …

生放送とかですばるさんが難問を初見で解く様子を見てみたい！！

今思ったけど、パスラボで数学の問題を生放送にしてコメントで議論しながらやったらオンライン授業みたいになって盛り上がりそう。

誘導がなくてもn＝1,n＝2の場合を示しておいてn＝kからn＝k+2で帰納法を使えば単純にx,yを2009倍するだけでいけそう。n=2については、途中で出てくる41を2乗すると1681⇒これは40と9の2乗に分解できることに気づけばx,yは40×49と9×49で案外簡単に見つかる。

この因数分解､結構好き

「x^2+y^2=aとなる自然数(x,y)が存在するとき、任意の自然数bに対してx^2+y^2=ab^2となる自然数(x,y)が存在する」っていう事を使えば誘導無くても帰納法で示せそう

今日の、特に難しいな〜。でも頑張って数学得意になるぞ〜！

nが偶数と奇数で場合分けすると少し強引に(x,y)の一般解がだせるような

この因数分解公式自体は、複素数で極形式を用いたかけ算の公式を導出する過程でよく出てくるけど、こんな数論への応用があるとは。これだから数学は面白い。にしても2009って45^2-4^2なんですね。

このBF恒等式の出題は2021に横国がBFになる伏線だったのか

ガウス環のノルム使うのが手っ取り早いですねz=35+28i,w=35-28iとおくときz^n=a+bi(a,bは整数)とすればw^n=a-biで2009^n=(zw)^n=z^nw^n=(a+bi)(a-bi)=a^2+b^2となります

ちょうど昨日解いたーー！！

これは誘導がないと相当厳しいと思います。私は誘導を見ずに散々考えましたが、全然進まず、、誘導あれば解けました。

誘導ヒントは複素数の絶対値 |z w| = |z| |w| (z = a + b i, w = c + d i) ですね。

「存在することを証明せよ」って言う問題を昨日法で証明しようとは思いつかないなあ

どっかの国の数学オリンピックの問題で似たようなのみたなぁ

フェルマーの二平方和定理を証明しても解いたことになりますね！

ホワイトボードの問題だけを見るとn=1でx=28,y=35のときx²+y²=2009ⁿを満たす自然数の存在が確認されてるので、これだけで題意を満たすのでは？と思いましたがどうなのでしょう

9:54「Xk≦Ykとしても…」の部分は、絶対値で処理すればXk+1∈ℕがとれる、としても良さそうですかね？記述の面倒くささを考えると動画の方が楽だとは思います。

絶対値つけてx_k+1 = | 28x_k – 35y_k |としまうのも一つの手

9:14 よく帰納法で使われるk+1の形になってないけどxk+1,yk+1って置いていいのかな？

【文系数学のプラチカ】実数条件を攻略せよ(立教大)

(c) MathLABO〜東大発「みんなでつくる」数学ベスト良問集〜（マスラボ）　大好評！リクエストが多い参考書良問シリーズ！ 受験生の頃にも解いた文系数学のプラチカの良問です。 特に文系頻出の問題です。

ぜひ最小値のパターンも考えてみてください！(同じ手法ですが難易度はこちらの方が高めです)

高一の僕みたいなマスラボ視聴者にもわかるように、解と係数の関係って言葉を使わずに、わざわざ展開してくださってるのがお優しいです。

最近似た問題やったから復習によかったです。ありがとうございます。

max u = M⇔ 常にu≦M かつ　u=Mなる実数xyが存在最大値に限らず定義きちんとを抑えることが大切ですね👍

まずy=xの場合を考えると0か2/3のときで、このときの平方和は0と8/9。y≠xの場合、与えられた条件にy-xを掛けて移項すればx^3-x^2=y^3-y^2とすることができる。したがって、関数f(t)=t^3-t^2について、実数kに対してtについての方程式f(t)=kを満たす解のうち2つの平方和を最大にすることを考えればよいが、解をα、β、γとしたときに解と係数の関係からα+β+γ＝１、αβ+βγ+γα＝０なので、α^2+β^2+γ^2=1であり、そのため解の1つの平方を、つまりその絶対値を最小にすることを考えればよい。それは明らかにk=0のときのα=β=0,γ=1とした場合（解の絶対値を0にできるのならそれが最小なのは確定）なので、β^2+γ^2=1で最大となる。（この時確かにβとγは異なる）つまり、(x,y)=(0,1),(1,0)のときのx^2+y^2=1が最大を与えます。この解法が出現していないのが意外ですが、左辺の形をみたら、立方の差を作りたくなりますよね。

普通は実数条件で先に範囲絞っとくのが定石だけど、この問題に限ってはs=1、t=0の時に x,yが存在する事を書くだけでもいいよねたぶん

x,yの値を求めよってあるせいで最大値を与えるsを満たす実数x,yがあることが自然と示されちゃうから、x,yの値を求めよは無い方がいいね。

おはようございます！44日目！見事に範囲絞らずにやっちゃいました💦これからは絶対間違えないようにしたい…！

二次関数で1番怖いのって解の配置でも最大最小でもなく存在条件なんだよな…。

数学力向上チャンネルをよく見てるからすぐに分かった！でも、理系でこの問題は出にくいんだよな…

解いている時、sとtの式は明らかに関係があるのに、全く別の文字に置いちゃってなんか腑に落ちないなぁとおもっていたんですが、そんな実数条件があったんですね…知らなかった…！

1対1で実数条件の説明だけ長々と書かれてるから覚えてる

この問題はたまたま対称式だったけど、例えばx+2y=s , xy = tの場合でも実数条件が出てこないとまずい。

良問でした。実数条件といえば、十数年前の東大の文系大問１を思い出します。

x+y=sとおいたということは、y=-x+sとしたわけなんだから、この時点でxyは、xy=x(-x+s)=-x^2+sx=-(x-s/2)^2+s^2/4≦s^2/4(等号成立はx=y=s/2)という、sの値によって変わる最大値を持つことになります。この手の問題は私はあまり得意ではないので、これ以上のコメントは控えます。

解と係数の関係から式使うのかな〜と思ってたけど、判別式使うのか〜笑

x+y=s xy=t は悪魔の置き換えほんとに忘れてしまう悪魔

範囲の確認が必要って伝えたいんだったら、頂点が最大値にならない例を持ってくるべきなんだよなぁ…

未知数の範囲を気にするのはもう解答用紙に名前を書くことくらい当たり前にしたいですね

x + y = s, xy = t を満たすxとyに範囲があることはグラフからもわかるよね。x ≠ 0 として、y = -x + s, y = t / x のグラフを考えると、例えばs = 0, t = 1 としたら、2つのグラフは原点を通る右下がりの直線と第一象限と第三象限の双曲線になるから、明らかに交点が無いよね。

解けたら偏差値70超え?（甲陽学院）

(c) MathLABO〜東大発「みんなでつくる」数学ベスト良問集〜（マスラボ）　さすが偏差値74の甲陽学院の問題、考え方の核の部分は、整数問題の実験思考と似てますね！ リクエストが多ければ大学受験だけでは …

nが5以上の時はn!には10が因数に含まれるから一の位が3で固定されるって実験するとおお～っとなりますねえ

一の位に注目するという発想がなかったんで、高校風の背理法で解きました↓ｎ≧４で 1!+2!+…+n! =k^2 と仮定すると、　　　　(1!+2!+….+n!)-(1!+2!+3!)=k^2 -3ゆえに　4!+5!+…+n! =(k+3)(k-3) 4!, 5!, …, n! はすべて３の倍数だからそれらの和も３の倍数。右辺が３の倍数になることから k は３の倍数なので k=3m とおくと　　　　4!+5!+…+n! = (3m+3)(3m-3)=9(m^2 -1)5!,6!,…,n! は５の倍数なので、（左辺）≡4!=24≡4 (mod 5)しかし右辺 9(m^2 -1) は、mが5を法として0~4のいずれと合同であっても４と合同にならない。矛盾。

これ大学入試に出てもまあまあなレベルだぞ笑

平方数を5で割った余りは0,1,4のどれかに分類され、n≧5のとき1!+2!+3!+4!+5!+…≡1!+2!+3!+4!≡33≡3(mod5)であるから1≦n≦4となり、あとは代入

丁寧な解説ありがとうございました。

n=1 から全部書き出してやろうという根気のあるタイプが強そうな問題自分なら n=5 くらいで諦めそう6か7くらいまで計算すればだいたいの人は見えてくると思うけど試験だと焦っちゃって厳しい

面白かったです。途中からは5×2の因数が入った項のみしか増えていかないので1の位には寄与しないとある種自明になってくる部分はあるのですが実験してなんぼということに気づかされた一問でした！

面白い…！言われてみれば当然だけど実験って大事だな…！

階乗数はクセが強いから、ちょっと実験すればすぐわかりますね。

n≧4の時にmod3またはmod4を使うと矛盾するのかなと思いましたがmod5でしたね。平方数関連でmod5は少し珍しい気がしています。

実験の大切さを教える問題として使えそう✨

これは素晴らしいです。実験しまくったけど、気付けませんでした。平方数の一の位は限られるのですね！覚えておきます。

1の位が3なら平方数じゃないという当たり前のことに入試本番で気付けるかどうか

凄すぎる！実験の重要性と実験の時の途中式を省かない、なんですね。自分は3の倍数になってることまではわかったけど、階乗を足すとき暗算でしていて、1の位がなぜ3がつづくようになるのか気づかなかった。

この考えた方はすごい。面白すぎるヘイホー

高校入試で普通に高校の内容出してくんの草

すごく面白かったです！

大学受験で平方剰余は常識だからこの問題は易しいが、高校受験でこれは…

ここからもっといい問題作れそうな良い問題

実験は大事n=6まで計算過程を記述したらすぐに気付けた

整数の最重要解法【東大理Ⅲ生からの挑戦状】

(c) MathLABO〜東大発「みんなでつくる」数学ベスト良問集〜（マスラボ）　記念すべき第１回目は、現役東大理３生から昨年DMで頂いていた整数問題の良問です。 （現時点で200件以上良問があるのでどんどん …

手書き解説ノート投稿しました！📝復習にご活用ください。↓https://twitter.com/todai_igakubu/status/1400792985005019139?s=21

数学訳分からんくて辛くなった時、宇佐美さんの数学力のすごさに憧れてるので自分も同じようになりたいって思って踏ん張ってます笑いつか同じくらいのレベルになりたい。この動画の問題もまだ解けないけど、冬頃にはマスラボで出てきた問題を初見で解けることを目標に好きになりたいけど嫌いな数学に真っ向向き合っていきます！笑

a＝b＝pという答えは簡単に想像できるけど、それを証明するのが大事っていう整数問題の基本を問う良問

与式を見てから答えを見るとより答えに納得がいきました！！

存在しないことを証明系の整数問題もやってほしい！！

視聴し続ける事で初めて自分の力になると思いますのでこれからも欠かさず視聴します！

遂にMathLABO始動ですね！✨本来文系なので必要ないのですが、類型選択で数学を選びました。苦手なままにしたくないのももちろんですが、宇佐見さんを見てできるようになりたいと思いました！今年受験生なのでお世話になります！✨

流石整数問題のパスラボです！！良問の宝庫だ、、、

入試問題は基本の組み合わせと言われる理由が少しわかった気がします！楽しかった！

今日は東大本番レベル模試があるので、整数確認しようと思ってこれを見たら、ちょっと難しくて悲しくなりました笑頑張ってきます。

難しかった～因数分解する前に偶奇を判断するのが重要ですね

おはようございます。古参を目指す算数数学やり直しが趣味の低偏差値社会人です。貫太郎先生の動画見た後でこちらを見ますので、コメント遅くなるかもしれませんが、毎日挑戦してみたいと思っております。GW の整数問題特訓は復習までしましたけど、今日のはムズかったな〜。ロジック追うのも一苦労でした。完全に理解できるまで何度も繰り返し見たいと思います。明日からもよろしくお願いします。それから高校生受験生のみなさん、勉強頑張ってくださいね。生まれつきの頭の良し悪しはあるものなのかもしれませんが、学校の勉強は頑張れば必ず結果が伴うものだと思いますので。

(a^2-ab-b^2)-n>0の証明の所計算量が多く感じたのでf(a)=(a^2-ab-b^2)-(a+b)と置き、f(a)=0で判別式を用いてbが自然数のときはD<0となることを示しf(a)>0を示す方が計算量が少なくて良いと思いました

パスラボでやった数学の問題もこのチャンネルの再生リストに入れて欲しいです🙏

解けたけど、最後の絞り込むのやらずに少しめんどくさくなったから綺麗な解法つくれるようにする

ゆるーい雰囲気なのに問題ガチガチで草

(a+b)(a^2-ab+b^2)=2p^3a+b=①、その横の長いやつを②とするユークリッドの互除法により①と②の公約数と、(a+b,3ab)の公約数は同じ。よって①と②の公約数にpを持つとき、p=3またはaもbもpの倍数。ここから明らかにa=b=p公約数にpを持たないとき、①と②のどっちかはp^3の倍数なのでもう片方は1,2だが、簡単な計算によりこれは有り得ないことが示される。

非常に面白い良問でした！

全部見てみたけどほぼわからなかったけどわかりたいと強く思ったので、パスラボの整数全パターンの方へ行きたいと思います。

お！６時更新だ！整数問題得意にできるように頑張ります