MathLABO〜東大発「みんなでつくる」数学ベスト良問集〜（マスラボ）（おすすめch紹介）

【素因数分解】ひよってる奴いる？

(c) MathLABO〜東大発「みんなでつくる」数学ベスト良問集〜（マスラボ）　タイトルは東京リベンジャーズのパロディです。 （残念ながらコラボ動画ではありません笑） お時間ある方は、250001を素因数分解してみて …

解説もそうだけど，コメント欄の有識者の別解みるのもまた楽しい

どうにかして2乗-2乗を作ろうと思って201^2を考えたらちょうど20^2引けば40001になったから楽だった

こんな良問の挑戦状は増えてほしい

これみたいに中学数学の面白い問題もたくさん取り扱ってくれると嬉しいです

181はカミツルギの攻撃種族値だから素数

学校の先生に出題すれば、先生がわからなかったら解法の説明という良い経験を自分からすることになるし、先生がわかったら、長く数学に取り組んでいる人から改めて考え方を聴ける。生徒から先生へのコミュニケーションがもっと増えると良いですね。

4x^4+1の因数分解は覚えておきたいですね

ソフィージェルマンの恒等式に気づけたので素早く素因数分解出来ました。

1回目の素因数分解する時a²＋b²=(a＋b)²－2abで解けました！！2abが400になり二乗引く二乗ができて楽！

動画のソフィジェルマンの恒等式もいいけど思いつかなかった時。 大きい数同士の積と思われる数の素因数分解方法 素因数分解したい数をnとする。√nを計算。√40001=200+α ここからn以上の平方数から順番に、nとの差が平方数でないか確認する 201^2-40001=400。√400=20 平方数-平方数は和と差の積にできるのでそこから値を導ける =201^2-20^2=(201+20)(201-20)=221*181=13*17*181 ここで差に平方数が出なければ202^2、203^2と繰り返し処理し続ける。 ※2以外の2つの素因数を持つなら素因数同士の差は必ず偶数になりその中間値は整数となる。 そのため素因数分解したい数を奇数にしておけばこの手法で解決できる。

この問題なら脳死で素数で割っていけば出来そうw

パターン化して、それを応用することで解いていくのが強いですよね。40001が素因数分解できて、181が素数であることなんて、一言で片付けていいのかどうかが悩ましいです…😭

(200+a)(200-b)の形にして解こうとしたらかなりきつかったです 中学生に完敗

数オリ系の問題集に27000001の素因数分解が載ってた (一手間増えただけで本質は同じ)

率直に2乗-2乗の形を作ったら解けると思いました

7で割ってダメだったから17でわったらいけたわww

4x^4+1って考えてやった。

暗算で17当てはめて行けて13もいけるっていう()

めっちゃ面白い

4x^4+1を複二次式のやり方で因数分解したらできまひた

これは素数？(超基礎問題)

(c) MathLABO〜東大発「みんなでつくる」数学ベスト良問集〜（マスラボ）　4stepに載っているレベルの基礎問題ですが 意外と証明できない人が多い良問です！ ~~~~~~~~ □MathLABO〜東大発！「みんなで …

基礎中の基礎だけど、こういうところしっかり固めておくと次のステップに進みやすいですよね

(k+1)^4+4がk^4+4≠2が素数と仮定すると(奇) + (偶) + 1 = (偶)>2を使って矛盾を示しても面白い問題だなと思いました😊

おはようございます。複２次式に気がつきましたので解くのは楽でしたが、論証の過程を細かく見ていくと、ひとつの問題を解くためには色々なことを知っていなければならないのだな、と、あらためて思いました。逆に言うと、間違った問題を要素に分解して詳細に検討することで、自分の弱点をピンポイントであぶり出すこともできるのでは…。今日もありがとうございました。

n^4+4=(n^2+2n+2)(n^2-2n+2)素数ならn^2+2n+2=1もしくはn^2-2n+2=1である。n≧2の自然数ならn^2≧4、2n≧4よりn^2+2n+2≧4+4+2＝10≠1（計算しなくても1以上なのは自明だが）y=x^2-2x+2の二次関数においてy=(x-1)^2+1このことから、この2次関数はx=1のとき極小値y=1となる。よって、n≧2のときn^2-2n+2＞1以上のことから、n^4+4は素数ではない。

最初「え？n=(偶数)を代入したら絶対2で割れて素数じゃないじゃん！Q.E.D.じゃん！」解説中「…」哀れだな俺

因数分解　n^4+4n^2-4n^2+4=(n^2+2)^2-(2n)^2=(n^2+2n+2)(n^2-2n+2)（）内が１になるのはn=1しかない　ということですね。

備忘録60G”【 Q単項化 】〖 整数問題で威力を発揮する ソフィージェルマンの恒等式 〗 n ≧ 2 ･･･① n⁴＋4＝ ( n²＋2 )² －( 2n )² ＝ { ( n²＋2 )－ 2n }{ ( n²＋2 )＋ 2n } ＝ { ( n－1 )²＋1 }・{ ( n＋1 )²＋1 } ＝ ( 合成数 ) ( ∵ ①より、二つの因数は 2 以上である。) ■

nが5の倍数でないときn^4≡1(mod5)ということは示せたけど5^4+4=629を素因数分解するのに意外と手こずるという(しばらくして729-100に気づく)

因数分解した後に元の式が正かつn^2+2n+2が正だからn^2-2n+2も正でこれが1となるときn=1より不適って解いたけど平方完成すればすぐできたな

似たような(ほぼ同じ)問題が今年の京大文系数学の問題にありましたね()

x^4+^x2+1は1の6乗根絡みの問題で出てくるからすぐに反応できるようにしといた方が良い。

4乗ってなかなか出ないから、出たらmod5か複二次式or同時式だと思ってる

1969年の国際数学オリンピック第1問は同様の考え方をして解決できる問題ですね。

5で割った余りが±1または±2なら全体は5の倍数になりそう。だから(5a)^4+(5-1)を考えて因数分解しようと思ったが迂遠過ぎて駄目だ

対偶とって、n=1を反例にして偽って示すのだとだめなのだろうか

素数の証明て楽じゃないしかなり難しいから多分常には素数じゃないんだろうなて予想できる

背理法のような帰納法のような方法でやってしまった・・・n=2で２０で不適、n=kで素数になると仮定してk^4+4=p、n=k+1で、えーとなんの三角形だか忘れたけど4n^3+6n^2+4n+3+(n^4+1)=2(2n^3+3n^2+2n+1)+(1+ｐ)で素数になるには1+pが奇数にならないといけないけどp=2以外の素数だと偶数になり、P＝2の場合、そんなＮは存在しないのでｋが任意より絶対に素数にならないこの解き方なんか堅苦しいというか潰しがきかなさそうというかスマートな感じはあまりしない

因数分解できるとすぐ分かるかどうかだね。

mod5で考えると全部余り1だから4足して5の倍数だな

素数は積の形！1×P、P×1、-1×-P、-P×1

【正答率1%】三角関数の超難問（有名な解法です）

(c) MathLABO〜東大発「みんなでつくる」数学ベスト良問集〜（マスラボ）　PASSLABOでも同様の問題を扱ってます！（類題チェック） 【検証】文系数学なめたら”ぴえん”説 …

別解もありますので、思いついた方は是非コメントで！コメント欄も「みんなでつくる」学び場にできれば嬉しいです。

備忘録75V” 2周目 〖 図形的解釈が上手い 〗 P( X, Y ) として、【 ( X, Y )＝ ( 5, 0 ) ＋2・( cosy, siny ) ＋( cosx, sinx ) とおくと、】 ( 与式 )＝ Y／X より、 OPの傾きの最大値が求めるもの。･･･①動点 P は、中心 ( 5, 0 ) で 半径が 2 の円周上の 任意の点を中心とする 単位円上の点の動きと 捉えることができる。･･･② ①と ②を 合わせて、 中心 ( 5, 0 ) で 半径が 3 の円と 直線OPが、接するときの OPの偏角を θ とすると、3 : 4 : 5 の直角三角形に注意して、 ( OPの傾きの最大値 )＝ tanθ ＝ 3/4 ■

ちょうど以前「傾き」を使った解法を教わっていたおかげで解けました！ありがたいです！

略解(与式)＝ｋ⇔sinx-kcosx＋2siny-2kcosy＝5k⇔√(k２乗＋1)cos(x＋α)＋2√(k２乗＋1)cos(y＋α)＝5kー①①はｘ＝ーα、y＝ーαのとき最大で左辺＝3√(ｋ２乗＋１)となるから、3√(ｋ２乗＋１)＝5ｋを解いてｋ＝４分の３　x,yに変域があると使えないので、あまり応用が利かないですがどうでしょうか

おはようございます。PASSLABO で昔やってた問題を思い出し、傾き使って解きましたが、k と置いてもそれほど煩雑ではないような…。数式を入力するのが面倒なので端折りますが、sin(x+α)+2cos(y+β)=5k/(√(1+k^2))（α と β は正弦余弦の合成で出てくるある条件を満たす角）と変形して、x と y は独立して動けることから-3≦5k/(√(1+k^2))≦3この不等式から k の最大値を求めました。今日もありがとうございました。

与式は単位円上の2点(cosx,sinx)(cosy,siny)を2:1に内分する点(円上か円の内部に存在する)と(-5/3,0)を結ぶ直線の傾きになるからx=yかつ直線が円に接するすなわち原点との距離が1になるとき最大になると考えたけど…動画のやり方の方が分かりやすいですね

いつも本当にありがとうございます😊すばるさんは教えるのがとても上手でいつも学ばせてもらってます。僕も地方公立高校なので励みになります！

三角関数、直線と傾き(接線)、相似、、、教科書の色々な単元が入っていて感動しました。

サムネで解けました！めっちゃ気持ち良かったです。

xで偏微分したのとyで偏微分したのが共に0として分子を見比べると5cos y+3=0が出てくる。sin y=±4/5になって代入して整理するとcos x=±4/3 sin x -5/3が出てくる。これらを与式に代入すると最終的に極値になるのは(15sin x±24)/(±20sin x+32)で最大値だからプラスの方でよく見るとこれは定数関数3/4だ。

この傾きの授業めっちゃ覚えてます前やったやつです点と直線の距離もわからず見てました笑笑

めっちゃゴリゴリだけど解けたー与式＝kとおく(kは実数)これを整理すると、sinx-kcosx +2(siny-kcosy)=5k√1+k^2｛sin(x+a)+2cos(y+a)｝=5k (aは合成における位相の変化の値)(√1+1/k^2)(sinX+2cosY)=5 (k≠0)(XとYは置換)これを2乗してさらに整理すると…1+1/k^2=5^2/W^2.・・・(➀以下ではsinX+2cosY＝Wとする)(一つ前の式より右辺が正なので0<W)和と差の積よりk^2=W^2/(5-W)(5+W)k=±W/√(5-W)(5+W)=±1/√(25/W^2-1)この式より、Wの値が大きいほど、分母が小さくなり、kの値は大きくなる。➀でWを定義していて、XとYはそれぞれ独立した値をとるので0<W≦3以上より、W＝3の時最大値で、k＝1/√16/9＝3/4をとる途中書くのが面倒な条件は省きましたが、概ね必要そうな条件は書きました。

正解率が低いからといって、授業で取り扱わない理由にはしてはいけないと思いました。懲りずに、多角的に学び続けようと思います。40代教員

やっぱり数学って経験ですね。受験勉強してきます。

やっぱ数学面白いな。大学受験からはさよならしたけど、教養としてやりたいな

傾きで表せるの初めて知った感動。

力を込めて「図形的に解く」と言われた瞬間、正答率1%も止む無しと思いました。精進します。

コメント欄にも色んな解法あって勉強になる

xとyの位相同じなら都合良く最大(或いは最小)になりそうだな、x=yにしてxで微分して3/4↑たまたま当たってしまった、実際図でもそうなってる。分数形を2点の傾きと捉える手法を覚え直しました。

以前のパスラボの例に従い、原点中心の半径3の円周上の動点と定点(-5,0)の傾きの最大値、にて解けました。

一橋大学　図形＋整数問題＋証明【落とし穴注意】

(c) MathLABO〜東大発「みんなでつくる」数学ベスト良問集〜（マスラボ）　一橋大学も典型パターンの良問です。 ただmod4で考える場合、忘れずに！ PASSLABOの数学特化チャンネル開講です！

a,bの偶奇が異なる場合、aを偶数、bを奇数とするとa=4m+2の場合(m：自然数)mod8で考えると簡単に矛盾が導けます。a^2≡4、b^2≡1、c≡1　（mod8)

mod 24 使って全ての組み合わせを試しました。平方数なら 0, 1, 4, 9, 12, 16 の 6つだけが出来るので、そんなに多くはありません。時間があんまり掛かったが、発想が上手く付かない場合は、むしろこの方が速いかも知れないんですね。(￣▽￣)

日常でんがんでも扱われてましたね！やっぱ一橋は面白い問題だすな〜

a=u^2-v^2, b=2uvとおいて，S=uv(u-v)(u+v)だから6の倍数．というのは減点されるんだろうな…

最後のaが四の倍数を示す際について、c^2-b^2を因数分解してもいけません？l+k偶数ならl-k偶数。l+k奇数ならl+k+1偶数。よって、八の倍数が示てます。

4の倍数だと言うことは、4のあまりで場合わけからのmod8で解けるんだよね

a^2+b^2=c^2を(a+b+c)(a+b-c)=2abと因数分解したのですがそこから出来ますか？

今年の月間大数に、似た考え方を使った問題ありましたね…!

a2=4(l+k+1)(l-k)の時でも証明できてるのでは？l+k+1とl-kの偶奇性は必ず違う。どっちかが偶数なのでa2は8の倍数その後は先生と同じ理屈で説明できます

原始ピタゴラス数の性質の話は一回は聞いとくべき。今回の問題も解きやすくなるし。

優しい理系数学で例題として同様の証明があったので、すぐ解けましたねぇ。しかしこれを本番でいきなり見たら、どう手を付ければいいか悩んでしまいますねぇ。

15:13 aが4の倍数であるためには、a^2が8以上の倍数である必要があるのは違うと思います。　aが4の倍数ならa=4nとして a^2=16n^2になるから、

aは整数、という大前提がある、のでa^2を素因数分解した際の各素数の指数はすべて(0乗も含む)偶数であり、そのことから、a^2が2を少なくとも3個持つ、場合にはa^2は2を少なくとも4個持つ(4個以上の偶数個持つ)(持たざるを得ない)(でないと｢aが整数｣という大前提に反する)、ということから、aは4の倍数、となります。(が、個人的にはそもそもmod8を使う方のがシンプルのよう、にも思います。)

斜辺をc,他の辺をa,bと置くa,bのいずれかが3の倍数(①)といずれかが4の倍数または両方偶数(②)を証明すればよい平方数は(3以上の整数の倍数−1)にならないから①は容易だが②が案外厄介。(両方偶数の場合は自明として)a,bのいずれかが奇数として、それを2n+1、cを2m+1として平方の差は4(m^2-n^2)−4(m−n)m-nが奇でも偶でもこれが8の倍数(平方数なれば16の倍数)となるからその平方根は4の倍数となる、ことを紙数と時間に配慮しつつ厳密に書かなければならない。落とし穴としては、a,bとも偶を見落とすことだろうか？

問題１、一辺がNの正方形の中に面積がNの正方形は最大いくつ入るか。(入る判定は例を参考にせよ)例:N＝1の時、最大一個入る。問題２、一辺がxの立方体の中に入る、体積xの立方体の個数の最大値をｙとする。ｙをxの関数で表せ。

a^2が8の倍数からaが4の倍数になる流れが分かりませんでした。どなたか教えていただけますと嬉しいです。

トゥイッターで初っ端から笑ってしまった笑笑

備忘録70G” 〖 ピタゴラス数の性質 〗【 目標設定力テスト 】a, b, c ∈自然数 a²＋b²＝ c² ･･･☆ ⑴ a, b の 少なくとも一つは 3 の倍数 である。⑵ a, b の 少なくとも一つは 4 の倍数 である。(参) a, b, c の 少なくとも一つは 5 の倍数 である。( 例 ) 3²＋4²＝ 5², 5²＋12²＝ 13², 7²＋24²＝ 25²

aが素数でc+b=a^2 c-b=1の組み合わせしかなくてb=(a+1)(a-1)/2の分子がaが3より大きい素数の時に12の倍数と示したんだけど、実際はめっちゃ簡単だったわ

自然数nに対し、 (i) n^2 ≡ 0または1 (mod 3)　（n^2 ≡ 0 ⇔ nが3の倍数） (ii) n^2 ≡ 0または1 (mod 4)　（n^2 ≡ 0 ⇔ nが偶数） (iii) n^2 ≡ 0または1または4 (mod 8)　（n^2 ≡ 0 ⇔ nは4の倍数、n^2 ≡ 1 ⇔ nは奇数、n^2 ≡ 4 ⇔ nは4の倍数でない偶数） を覚えておくと、こういう問題で見通しを立てるのに便利です。 この問題はピタゴラスと(i)よりmod 3で(a^2, b^2, c^2) ≡ (0, 0, 0), (0, 1, 1), (1, 0, 1)の何れかとなりaとbの少なくともひとつは3の倍数、同様にピタゴラスと(iii)よりmod 8で(a^2, b^2, c^2) ≡ (0, 0, 0), (0, 1, 1), (1, 0, 1), (4, 4, 0)の何れかとなり、aとbのどちらかが4の倍数または両方偶数。なので面積は6の倍数。

【史上最も簡単？】大阪大学2000理系（超基礎問題）

(c) MathLABO〜東大発「みんなでつくる」数学ベスト良問集〜（マスラボ）　今回は大阪大学の整数の超基礎問題！ 解けなかった人は、しっかりとこの問題から整数問題の考え方を吸収しましょう！ 簡単過ぎて飽き …

いつも思うけどコメント欄の人みんなすごすぎる！整数問題得意になれるように演習つんできます

おはようございます。56日目！MathLABO見始めてから、(遅すぎるかもしれませんが)初見の問題で実験する癖がつきました。もっと初見の問題にも強くなれるようになりたい！

20ぐらいまで実験してる間に方針が立ちました。実験思考は大切ですね。

ちなみにこの手の問題はフロベニウスの硬貨交換問題という名称がついていますので、気になった方は調べてみてください。なお、この動画の問題で表せない数の個数は(3-1)(5-1)/2の4個でこの定理はシルベスターの定理って名前だった気がします。

エラトステネスのふるいのように、横6で表を作るとわかりやすいですね。

任意の整数z(z≧ab＋1)について、z-b,z-2b…z-abをaで割った余りは全て異なる(∵aとbは互いに素)(背理法で示せます)また、任意の整数をaで割った余りは0〜a-1よりz-b,z-2b…z-abの中にaで割った余りが0であるものが存在する。それをz-byとするとこれは正である(∵0<y≦aかつz≧ab+1)よってz-by≡0(moda)より自然数xを用いてz-by=ax⇔z=ax+byとおける。よって示された。(証明終)これでどうでしょう。間違ったところがあれば指摘していただけると嬉しいです。

x ≡ 5n ≡ 0,1,2(mod 3) の場合分けでnの最小値からこぼれを拾うパターン　とか実験でこぼれを拾って「8,9,10」の3連続を帰納法の起点にするパターン　とか

「a,bが互いに素」という条件付きで成り立ちますね例えば、2x+4yで奇数は表せないです

nをabより大きい整数とし、nをbで割った余りをrとするa,2a,…baをbで割った余りはすべて異なるから、余りがrとなるものが存在し、それをxaとするよって、n-xa＝yb(yは自然数)と置くことができるから、ax+by＝n

10〜19まで全部表せれるからそれ以降は5を2つの10を足し続けることで表せれるからという風に解きましたね

算数オリンピック「5円玉と7円玉でお釣りなしでは払えない最大金額(正解は、5×7-5-7=23円)」この形の問題は、頭で考えると意外と難しいけど、具体的に数字が与えられてるなら、どちらかを固定してしまえば有用な実験結果が得られるのかぁ…代数苦手やわ。合同式使えばいいのか。mod5で7の非負整数倍は0≡0、7≡2、14≡4、21≡1、28≡3で、≡3が最後に出てくるんで28-5=23が表せない最大。

x=2m+3n(m,nは0以上の整数)だったら2以上の自然数は全部表せる。だから新幹線の座席とかは2列と3列になってるんだよね。

ab+1以上のときにmod bで循環の形を作れるのかと思ったけどだめでした……

これって同年の数オリで式が同じでほぼ同じような問題が出たことがあるんですよね…(その問題は表せない最大の値を求める問題だった)東工大でも数オリをアレンジしたような問題が何回か出たことがあるので数学に自信があるような人は数オリの問題を見てみると試験当日に思わぬ幸運が訪れるかもしれません。

素数関連のエラトステネスのふるいを応用して考えるのはどうでしょうか？ 1, 2, 3, 4, 5 6, 7, 8, 9,1011,12,13,14,15…このように5列ずつ書いていって、はじめて表せる数が来たらそれより下は全部表せる、みたいな感じで

a,bは互いに素なので、a*1, a*2, ・・・, a*(b-1), a*b をbで割った余りは全て異なる。←(＊)よって、これらをbで割った余りは、0,1,2,・・・,b-1の並び替えであるので、a*bより大きい整数つまりa*b+1以上の整数はこれらにbを１つ以上加えれば表すことが出来る。

中学受験でも時々出される問題です。15以上の整数はすべて表現できるので、15までの数を検証すればよいと思うのですが、3つの組み合わせなどになると書き出し系は大変です。

表作って計算式とか考えなかったなぁ。１　２　３４　５　６７　８　９10　11　12３の倍数の列を消す２の列の5以下を消す１の列の10以下を消す模範解答の数式を表にしてるのと変わらないけど

ax＋byで表せない最大整数はab-a-b(本題では15-3-5=7)だから、これより大きい数(8以上)は表せるはず。ab＋1以上も確かに表せるけどこれでいいのかな。すでに指摘されてたらごめんなさい。

今年の名大オープン理系第4問解説して欲しいです