MathLABO〜東大発「みんなでつくる」数学ベスト良問集〜（マスラボ）（おすすめch紹介）

チャンネル紹介

2021.12.24

【Twitter】中学3年生から”面白い難問”が届きました。

(c) MathLABO〜東大発「みんなでつくる」数学ベスト良問集〜（マスラボ）　整数問題の全パターン解説はこちら https://youtu.be/thR1ZyXqDLE PASSLABOの数学特化チャンネル開講です！！ MathLABO〜東大 …

分子を2^8で括った時に2^11が登場して「分母の形が作れそうだ」と感づいて、底から無理やり、3^8 + 2^11 = (3^6 + 2^11) + 3^8 – 3^6 と分母の形を作って強引に因数分解したら上手くいきました。それにしてもこの子、よくこんな問題思いついた。。。

2^11をx、3^8をyとすれば因数分解少し楽になりそうですね😏

これで出題者は全部しっかり計算するのを正答にしてたらおもろい

6が2^8・3^8にわけれないのかなぁーって思ってたけど、因数を推測してやることも大事なんだなぁと思った

中学数学ってゴールから逆算って結構多い気がする

分母の因数分解が、分子の因数分解のための誘導になっているいい問題ですね。『6^8 + 3^12 + 2^19を因数分解せよ』という問題だったら私は多分解けません。

この問題はすごいですね。よく思いついたと思います。動画と同じ式にたどり着きましたが、初見で分子は因数分解するんだろうなと感じました。そうなると、6^n は 3^n × 2^n で作るだろうから、3^12 を 3^6 と 3^6 の掛け算と考えて、他も 6乗でそろえると、(3^6)^2 + 36 × 6^6 + 128 × (2^6)^2 となって、128 = 32 × 4 でやっぱり因数分解できる、となりました。先に分子の方を計算したので、分母の方は一直線でした。

無理矢理分子に3^6+2^11を作り出せば良さそうだなと方針立てられたので、何とか解けました。これが中3か。素晴らしいですね！

暗算でいろいろぐちゃぐちゃになったのですが、まず、6^8が邪魔なので帯分数扱いすると、整数部が2^8,分子が3^12-2^22になり、さらに約分及び帯分数扱いして整数部が3^4,真分数が-2^11/3^2になり、実値に直して解に到達しました。

灘中数学研究会の灘中入試模試のレベルが凄まじいと聞きました。人間とは思えないくらい数学ができる中学生、ツイッターにいっぱいいます。でも数学関係以外のツイートは、やっぱり中学生なんだよね。

愚直に分子をA分母をBと置いて、BとAで式を作ってイコールゼロにしてからA/Bを求めにいきました。まずは3^12と2^19を消したいので初手A-B*(3^4+2^5)=-3^6*2^5-2^16 これが-(B/9)*2^5に気づいて　9A-{9(3^4+2^5)-2^5 }b=0　を解きました

一番左下の6と2から作った式で、3^8=3^6+8*3^6として8*～を()の外に出す。つまり分母での操作の逆がおそらく想定解法です。

作問側はどういう着眼から作った問題なのか、気になりますね。分母を分解して出てくる3⁶+2¹¹=2777が素数なので、分子がこれ自身を約数に持つはずという推測を立てて解けるようになってるのも凄い。分子や分母を(2ベキ＋3ベキ)の積に分解せよと言われたら‥‥分母は動画のように出来るけれど、ノーヒントで分子だけ出されてもとっかかりが無くて無理そうです。

何乗もされてる数を因数分解するのは思いつかなかったわー

なんか中学生向け駿台模試に近しいものを感じた。おもろい

とある人が教えてくれた事実。12/19≒log2/log3(底は10)この問題とは関係ないだろうけど、3^12と2^19が出ていてビックリ。

分母の書き換えはできて、分母はmod.5 で考え5×なんとかにして、約分かと思ったら2777 が素数で電卓使ってしまった。反省。中学生すごい。

分子の因数分解を試みる過程でもしかしたら3^2の方ではなく3^6+2^11の方で括れる？と思いつつ続きを見たら予想通りと言っても、実際何かの試験で出たら解ける気がしないという

1+2^3=3^2っていう式が輝いてる

出来たけどこれを打ち込むのは骨が折れる😭にしてもすごいなこの中学生

【Twitter】小学６年生で出題された東大入試【採点基準付き】

(c) MathLABO〜東大発「みんなでつくる」数学ベスト良問集〜（マスラボ）　Twitterで親御さんからいただきましたが、正直驚きました！今回は小学６年生でもわかるように解説＋採点基準を付けましたが色々な別解 …

1週間ほど遅れて拝見させて頂きました。宇佐美さんの解法・解説もお見事すぎ（感服）なんですが…もっとすごいと思ったのが、「小学校の先生が、小６の子にこの問題を出す（解けるかも？という前提で）」という先見性です。子供の能力を引き延ばす、こんな先生がいるなら…！

作問者との会話がうまくいったらスルスルやね

a^2-a(aが奇数)が10000で割り切れることは、a^2-a=a(a-1)と10000=16×625から、a≡1(mod16)かつa=625k(kは整数)であることと同値である。…①①と、625≡1(mod16)より求める整数をa=(16t+1)×625(tは整数）と表せるaが求める数字である。サムネを解くとこうなります。

Excelでmod関数組んで検証したら、たしかにa=625だけでした。すごいな数学！感動した！（なおExcelだと1分でした）

n=25が100で割りきれるのに気付けば、n=625を導くのはそこまで難しくなさそう。

有名すぎて答えまで覚えてる受験生多そう()

備忘録75G” a ∈ 3 ≦ a < 10000 である奇数･･･① 【 ( 重要定理 ) a と a－1 は互いに素であることに注意して、】 a・( a－1 )＝ ( 2⁴・5⁴ の倍数 ) ･･･② ①より、a－1 は偶数で ②と合わせて、 a＝ 5⁴・ℓ, a－1＝ 2⁴・m ( ℓ, m ∈自然数 ) と表すことができる。 ①より、0 < ℓ < 2⁴ ･･･③ の下で a を消去して、 5⁴・ℓ －2⁴・m＝ 1 ⇔ 5⁴･( ℓ－1 )＝ 2⁴･( m－39 ) 5⁴ と 2⁴ は互いに素だから、 ℓ－1＝ 2⁴･k, m－39＝5⁴･k ( k ∈整数 ) よって、 ℓ＝ 2⁴･k＋1 ③より k＝ 0 だから、 ℓ＝ 1, m＝ 39 以上より、a＝ 5⁴・1 ＝ 625 ■ ( このとき、a－1＝ 2⁴・39 を満たす )

計算ミスしてない限りa=625（16nー15）もしくは10000n+1（nは整数）の時にaが奇数かつ（a^2ーa）が10000の倍数という条件を満たすので、このうち更にaが3以上9999以下の条件を満たすとなると625の時だけになりますね

まさに現役で東大受験した時に解いた問題です。解き方はまったく違いますが、625という答えを出せてとても嬉しかったのを覚えています。。。東大は落ちました。

何となく10000を素因数分解してみて、とりあえず5の4乗で試してみたら上手くいっちゃった

これを小学生がやってると思うと震えるわ

おはようございます。33日目！一応解けたけどところどころ説明が抜けてたので、記述式だったら確実に減点です…これを小6で解いたとか考えられない😱私が小学生の時2乗なんて知らなかった…😅

a^2とaの下4桁が同じ数字だから、2乗しても下一桁が変わらない数から考えていったら自然に答えの数字特定できた　記述なら死んでる

この小学生のお子さんは[中学への算数·高校への数学·大学への数学]を解きこなしているのかな?頑張れ!

おはようございます。最後、小学生にはキッツいかな〜。シラミ潰しで答えを出せれば小学生なら満点だと思います。今日もありがとうございました。

サムネだけ見て解いて後から動画見たら条件増えてたww

懐かしいなぁ…駿台の東大文系数学のテキストのちょうど真ん中あたりに載ってました。テキスト完璧にすれば他に何もいらないと言われ、暗記する勢いで何周もしましたが、この問題には相当苦戦したのをよく覚えてる。

サムネで見ると、「αは奇数であり10000の倍数」と読めてしまって、とても混乱しました（汗）

この問題は中学生に毎年やらせてるなぁ

この問題見たことあるなあ、と思ったら、ブルーバックスの「やじうま入試数学」（金重明さん著）にのっていて、この問題のタイトルが「根性さえあれば小学生でも解ける東大の問題」でした(^_^;)。

偏差値65の校内実力テストが良問すぎたww

変数３以上の不定方程式は範囲の絞り込みが基本…。「すべて求めよ」だから最後に書き漏れあると大幅に減点でしょうね。（組み合わせが何種になるかも計算しておくと良いと思います。）

先週東北大AO2期の筆記試験受けてきました。その中で素数が絡む整数問題が出てきてラッキーでした！ほかの問題が証明問題だけで非常に論証が難しかったですが、なんとか1次試験通過出来ました！！！来週末が面接試験なので勝負決めてきます！良問が多くて良かったです！P.S.2次試験の口頭試問があり、少し苦戦しましたが、思考を相手に伝える意識で答えて、無事に2次試験も合格できました！😭😭😭

自分はabcが1と4では不適であることを先に言って、abcが2、3の事であるから、2、3は素数より、a、bは1である事を言ってからc=2とc=3の時方程式を解くと言う形で解きました。この解き方の利点としてはcd-c-d-2=0の方程式を解かなくて良いこと、良くないところは論述が面倒くさくなる所だと思います。

整数問題の基本ですが、良い練習になりました。

これはすぐに解法思いつきました！すばるさんのおかげです！ありがとうございます🥳

東京女子大の問題だと思います笑何年かは詳しく分からないですけど整数問題で対称性と範囲の絞込みは定石ですね！

a ≦ b ≦ c ≦ d の仮定の下で次のようにして絞ってみました。a ≧ 2 のとき、d ≧ c ≧ b ≧ a ≧ 2 であるので、左辺 ≧ 8d > 4d ≧ a + b + c + d = 右辺で不適。よって、a = 1。b ≧ 2 のとき、d ≧ c ≧ b ≧ 2 > a = 1 であるので、左辺 ≧ 4d > a + b + c + d = 右辺で不適。よって、b = 1。以降は動画と同じです。どちらにしても、4次式 = 1次式というのは一般には成立しない、かなり特殊な等式なので、a ～ d のうち2つくらいは 1 になるんだろうと思える感覚は重要だと思います。

対称式は大小関係を後で入れ換えることを付記したうえで「大小関係を設定する」ことを宣言するといいですね。どうせ他に入れ替え以外の解は出てきません。なので曖昧に「対称式なのでa≦b≦c≦dの場合について考える。…」と書き出すと良いかと。

答えを書くときは、1124,1142,1214,1241,…のように小さい(大きい)順に書けば、重複は防げるかもね。

問題の見た目で圧倒されるけど、やってみればめちゃくちゃ楽しいってパターンの問題だった😋

ふくらPのよくわかる解説のおかげで解き方一瞬でわかりました。

abcdの方が基本大きいのでどこまで1か調べるa=1,その他2の時はabcdの方が大きいa,b=1その他2の時はabcdの方が小さいa,b=1で決まるcd=c+d+2の不定方程式解いたらc=2,d=4（1,1,2,4）を並び替えた12通り

abcdに含まれる1の数で0個～4個まで場合分けして考えたら暗算でも解けました！

左辺が「パッと見大」で右辺が「パッと見小」なので不等式で評価ですねa~fまでの6文字で解いたことあります

対称性を利用したら一瞬でとけました！今日は東大実践初日なんで頑張ります！！

備忘録‘’60V【 a, b, c, d の対称性を活用して、大小関係を付ける。 → K区間限定】一旦、1≦ a ≦ b ≦ c ≦ d ･･･① とする。 a・b・c・d ＝ a＋b＋c＋d ･･･② ①②より、 a・b・c・d ≦ d＋d＋d＋d ⇔ a・b・c・d ≦ 4・d ⇔ a・b・c ≦ 4 これより、 ( a, b, c )＝ ( 1, 1, 1 ), ( 1, 1, 2 ), ( 1, 1, 3 ), ( 1, 2, 2 ) a, b, c, d ∈自然数に注意して、 ②を満たすものは ( a, b, c, d )＝ ( 1, 1, 2, 4 ) ･･･③ ①の条件を除いて、③の並び替えの 12組が求めるもの。■

プログラムやってると全通り入れてドーンで全部出てくるからやっぱりPCは偉大

並べるときは四桁の数字みたいに小さい順にしないと間違いそう

3人の走者を考える。同着を認めない場合、着順の組み合わせは3!=6通りであるでは同着を認めた場合、着順の組み合わせはいくらになるか？（例えば二人ならA→B、B→A、AB同着の3通り）また、走者をi人、同着の走者を1組と数えたときの着順の組数をj組とし、その組み合わせの数をAijで表すとき、1<j<iを満たすときのAijを走者がi-1人のときの組み合わせの数を用いて表せ深夜にプログラムのテストしてたら必要なテストケースを求めるのに苦労した上に答え合ってるか不安になって一般化してみたけど、なおさら合ってるかどうか分かんなくなったやーつ

複数の答えを列挙するときに=・・・=・・・でつないでしまうと×にしたくなりますので「,」で区切ってほしいです。

【面白い入試問題】小数第１位を求めよ（広島大）

(c) MathLABO〜東大発「みんなでつくる」数学ベスト良問集〜（マスラボ）　数学って面白いですね！ほぼ誘導なしで出題です。別解が思いついた方はコメントでお願いします！コメント欄も「みんなでつくる」学び場に …

パスラボのおかげで文系ですが数学が最近楽しくなってきました！

広大の数学はまじでスッキリする問題多いから数学の勉強飽きたら広大or北大の問題やるのおすすめ

(1)でlog[2]3が無理数ということがわかっているから不等式評価の左側が「≦」でなく「＜」ということがわかるね

10倍してlog3^10の1の位を求めよにしたらすごくシンプルに求められた

全く同じ解法で解きました!(^^)!

今日もありがとうございますまず、2のn乗＜3の１０乗＜2のn+1乗　を満たす自然数nを求める２４０×２４０＝５７６００＜３の１０乗＝２４３×２４３＜２５０×２５０＝６２５００と２の１０乗＝１０２４＝１０２５－１　を使えば　n＝１５2の１５乗＜3の１０乗＜2の１６乗１５＜１０log₂3＜１６１．５＜log₂3＜１．６よってlog₂3の小数第1位は５

3^5<2^8から両辺に底が2の対数をとって5log23<8log23<8/5=1.6∴log23<1.6…①同様に2^3<3^2より3<2log231.5<log23…②①②より小数第1位は5※両側から範囲を絞るイメージで評価を厳しくしていくことが大切です。

両辺5乗すれば不等式を示せることがわからなくて3=2×3/2、2^8/5=2×8^1/5だから適当な数を考えて(3/2)^4×(31/20)<8 をしめして3< 2×｛(3/2)^4×(31/20)｝^1/5 <2^8/5を示しました(良くない)左側で、√2が与えられていないのに√2=1.41…>1.42を勝手に使って示したのでそっちは普通に減点されてしまう

ちゃんとlogの性質がわかっていれば簡単な比較問題ですね

2^xと3^10=58949を比べるというごり押ししか思いつきませんでした

このタイプの問題苦手だ……初めて見た時本当に解放思いつかなかった…

やった、これは初見で解けた！

logや桁数絡みの問題は練習問題をいくつか解けば大抵はそれほど難しくないと思います 2^15 < 3^10 < 2^16 log2_2^15 < log2_3^10 < log2_2^16 15 < 10log2_3 < 16 1.5 < log2_3 < 1.6 よって答えは5

やっぱわかりやすいんだよなぁ

これは出来ました!笑

log底が2の2が1で、同様に4が2だから、少なくとも1と2の間かなと思ったけど上限がガバガバだった(笑)

めっちゃ面白いもんだい

動画見る前に記述して後で確認します笑k/10≦log2(3)＜(k+1)/10となるようなkを求める。左側を整理すると2^k≦3^10＜2^(k+1)となる。3^10=59049からゴリ押しで解いてもいいけど、3^5=243→ 2^7(=128)≦3^5＜2^8(=256)から推測しやすくなり2^14≦3^10＜2^162^15=1024×32=32768＜59049から2^15≦3^10＜2^16⇔1.5≦log2(3)＜1.6求める数字は5である(与式)≒0.4771/0.3010=1.5…だから合ってそうかな笑あとでチェックしよ。

授業でチャレンジ問題として出されました。無事解けて嬉しかった

log2(3)か・・・うーん、どうするんだろ？2^x=3だといいんだよね。2^0.5=1.4142なら知ってるから、2^1.5=2.8284になって、いかにも小数第一位は”5″でよさそうだけど、それを証明するといいのかな・・・？2^1.6≧3を証明すればよくて、両辺5乗すれば、2^8=256≧3^5=243だから、これでOK?

【4step】数1A 基礎＋α演習①（完答すべき１問）

(c) MathLABO〜東大発「みんなでつくる」数学ベスト良問集〜（マスラボ）　4STEPに載っている良問を解説しました！基礎的な内容でも、意外と学びが多い良問ですね。別解が思いついた方はコメントで（リクエスト …

【連絡】本日夜にTwitterで解答解説を(十分性の議論も含めて)記述で書いた手書きノートを公開します。ぜひご活用ください！

判別式で解いてる人が多くいて凄いです。自分は整数問題と十把一絡げにしてるので、改心しようと思いました。

解析数学屋だったんで、まずnが十分大きいときn-αとn-α+1で挟めるって発想しちゃう(この場合、α=5)。判別式の利用は最近思い出させてもらいました(笑)。

解法1の途中で手がとまりました😣平方完成思いつかなかった！！しっかり復習してどちらの解法も活用出来るようにしたいです！とくに今日駿台模試にボコボコにされたので、基礎を徹底して、毎日パスラボ見ながら頑張ろうと思いますo(｀ω´)o

解の公式を使ったんですね！判別式でも解くことができました！すごい面白い問題でした！

最初平方完成したんですけど、してからの過程が分からなくなって結局②でやって解けた！って思ってたら26出してませんでした笑復習しまあす追記　どちらの解法でも自分で解けるようになりました！ありがとうございました☺️

自力では解法2で解いてたけど、解法1の平方完成の方が速そう…。実践してみます！

2番の解き方の終盤にてkを求めなくてもlが求まっていれば…という説明でしたが、その場合は、lが求まっただけでは「4k^2 + 85 = l^2」という式を満たす自然数lが分かっただけで、その時のkが整数かどうかということについて評価できていないため不完全に思えました。もともとの式が整数となりえるかどうかについて評価するため、kの値を求めて整数かどうか評価する必要があると思います。

n≧10のとき、(n-7)^2≦n^2-9n-1＜(n-4)^2が成り立つから、n^2-9n-1が平方数になるのは、n^2-9n-1＝(n-7)^2,(n-6)^2,(n-5)^2の場合に限られる。これからn=10,26を導いてみました。

このチャンネルずっと続いてほしい！

おはようございます。日曜日も出題してくださってありがとうございます。解法２つは思い浮かびましたけど、根号出てくるのがイヤなので私は２つ目はつかわないかな…。でもどちらにも精通したいと思います。それよりも不等式を使用しての大小評価やら範囲の限定やらが甘く、最終的に十分性について検討して正解にはたどり着くのですが、余計な計算しているところがありますね。精進いたします。今日もありがとうございました。

朝早く投稿お疲れ様ですm(__)m高１なので助かります！

めっちゃ助かりました！

ドラゴン桜を夢に見て東大に行ったすばるさんが今やコラボしてるなんて…スゴすぎる

やってみました。なかなかムズかったです。判別式で解きました

取り敢えず√がある時は√がうざいから√を消すために二乗するか√の中を平方数にするって考えると解ける気がする

今日もありがとうございました！！！

おもしろいです🎶解けなくて悔しかった💧

質問です。解法2のLの値が奇数になることは記述しなくても大丈夫なのですか？

おはようございます☀︎*.｡今日も良問をありがとうございます