MathLABO〜東大発「みんなでつくる」数学ベスト良問集〜（マスラボ）（おすすめch紹介）

本当にあった奇妙な入試問題｜有限ルートの謎

(c) MathLABO〜東大発「みんなでつくる」数学ベスト良問集〜（マスラボ）　先日PASSLABOでもやりましたが 無限ルートや循環を見たら ぜひ思い出してみてください！ https://youtu.be/Oz_y1s-AEao 整数問題の全 …

簡単に考えられるのなら簡単に考えた方がミスが少なくなる。 この問題なら漸化式は不要。 結局 a=2^(1+1/2+1/4+1/8+1/16+1/32+1/64+1/128)=2^(2-1/128) log₈a=(2-1/128)/3=85/128

この問題の一番の落とし穴は、√が無限個ではなく７個しかないことですね。

全部指数に直して、真数を8に調整して、代入しちゃったほうが楽だと思いました。

解けなかったですが、実験の途中で、「漸化式が関係するかもしれない」と気がつけたので少し嬉しかったです。

凄く楽しい問題でした。漸化式って数列のためだけでなく、身近な数と段階的になかよくなる、接着剤、バインダーみたい物ですね。ミニ四駆などで使ったパテみたいな気分。答えが出て作品完成でパテシエですね🎂。人生100年時代、もっと数学のたのしさを、満喫していきたいですね。すばるさん、解説を有難うございました。

これぐらいの数なら「a=2・(2・(2・(2・(2・(2・(2・2^(1/2))^(1/2))^(1/2))^(1/2))^(1/2))^(1/2))^(1/2))^(1/2)であるので、これを整理するとa=2^(255/128)となる。」みたいな脳筋戦法でよさそう

指数の形で表して解いたけど、漸化式の形でも解くことが出来たのか…!勉強になった…。

関サーは無限だったけど、こっちは有限なのか….！！

漸化式は使わず解きました。法則は結構すぐ見つかりますね。

漸化式に置き換えて解くところが良問だけど、実務で使えそうな分野が思いつかない。天才数学者ラマヌジャンがあみだした公式類の応用分野では発揮できそう。

a( n ) は n → ∞ で 4 に収束する。また等比級数の部分和c( n ) = 2 + 1 + 1/2 + … + 2^( 2 – n )も同じく n → ∞ で 4 に収束する。数直線上を 4 というゴールに向かう 2 つの数列はどちらが先にゴールするのでしょう。

aを2の冪乗で表してlogの底を2にしてぶちこめばいいじゃん！って秒で思って4つ目の√ぐらいで、あ…漸化式じゃんってなりましたwこのぐらいなら上記の手法を暗算でこなせるのでいいんだけど、負けたような気持ちですw

これは明らかに無限ではなく有限、のような気が….。

指数から数列、無限級数を問う問題って意外と多い気がする

ぼーっとしてて「８(a8のこと)って何の数字？」って思った。暫く考えて有限√だってことに気づいた笑。

無限と0が1番考えやすいってのは物理に限った話じゃないってことかな?

京都府立大学でこんな感じの漸化式の極限求める問題あったな

積分サークルの予備乗りコラボのやつで似たようなの積分で出てましたね

これは脳筋で a = 2^(255/128) って求めてから突っ込んだ人多そう……そもそもこのaが合ってるか検算まだできてないけど

無限ルートだったら無限級数使えそうですね

【数学良問の旅】北海道大学2016　整数問題（難易度B）

(c) MathLABO〜東大発「みんなでつくる」数学ベスト良問集〜（マスラボ）　x,yは正の整数です。 そうだ、数学で旅をしよう。 全国47都道府県を制覇したいですね。 PASSLABOの数学特化チャンネル開講です！

受験生で、初めてな感じで整数問題やりましたが、難しくも面白かったです。・自然数ならば、(分子)≧(分母)。・必要条件で絞り込んだら、必ず十分か確かめる。

【訂正】x,yは正の整数（自然数）です。評価の仕方は様々ありますので、別解が思いついた方はぜひコメントで。リクエストが多ければ南下して数学で旅をします。TwitterのDMやLINEで良問があれば遠慮なくどうぞ👍

おはようございます。整数問題、GW の特集で一通り終わらせましたが、まだまだ不等式による絞り込みが苦手で、今日の講義は勉強になりました。今日もありがとうございました。

結構有名な問題ですよね！しっかり完答できたので自信になりました！

y=x^2/x^2-3x+2を整式の割り算しないで、x,≧2→分母≧0,y≧2からそのまま不等式で処理する流れでもいいですよね！主観になりますが、この流れの方が自然な発想な気がします。

整数問題Point①足し算→積の形②条件から範囲を絞る☆(分子)/(分母)→(分子)≧(分母)③倍数や余りに注目

不等式で解くと割とガバガバに答え出てくるんですね！代入すること忘れないようにしないと！！

これ数日前にパスラボの整数の問題全部やってから解いてみたところ、整数を解くための頭が少しできてきたのか思ったより楽に解けました。あの動画を作ってくださって本当にありがとうございます😭これからもお世話になります！

備忘録[75G] 【 K区間限定 】 x, y ∈自然数 3x／( x²＋2 ) ＋1／y ＝ ( 自然数 ) ･･･①( ⅰ ) y＝ 1 のとき、 ①より 3x／( x²＋2 ) ＝ ( 自然数 ) だから、 3x／( x²＋2 ) ≧ 1 である。これより、 ( x－1 )( x－2 ) ≦ 0 ∴ 1 ≦ x ≦ 2 よって、x＝ 1, 2 で ①は成り立つ。以上より、( x, y )＝ ( 1, 1 ), ( 2, 1 ) ■ ( ⅱ ) y ≧ 2 のとき、 1／y ≦ 1／2 に注意して ①より 3x／( x²＋2 ) ≧ 1／2 である。 これより、 ( x－3 )² ≦ 7 よって、 x＝ 1, 2, 3, 4, 5 ①に代入して、適するものは ( x, y )＝ ( 4, 3 ) ■

(与式)=1の方程式(x≧3, y≧2)は(x―1)(x－2)(y－1)=3xと変形できる。連続する2整数の積は偶数であり、3と2は互いに素であるから、xは偶数である必要がある。またy≧2より(x―1)(x－2)≦3xすなわち、x=3, 4, 5 が必要である。従って、x=4の場合のみ調べると、y=3 で十分である。

y≧2で足して1しかない、の時点で0＜y≦1/2だから3x/(x^2+2)≧1/2が必要(｢範囲で絞る｣の利用)、とすれば、yについての整理や割り算等の複雑な計算せずとも、同じ2次不等式x^2-6x+2≦0が得られます。

数学で全国旅行って斬新ですね

3x/x^2+2は、x=1の時3、x=2の時63xはx=1の時3、x=2の時6となる。1/yが1/(整数)という形で表されることから、(与式)=(整数)となる為には、3x/x^2+2=1-1/yもしくは3x/x^2+2=(整数)と表されることが必要条件である。数学的帰納法より、y=3xとy=x^2+2はx>2で交わらない事が示され、更に3x/x^2+2は常に値が減少することが示された。-①1-1/yとなる最小値は1/2である。3x/x^2+2は、x=4のとき2/3、5の時5/9、7の時7/17、8の時8/22 となり、8/22<1/2となる為、①よりx>4で3x/x^2+2=1=1/yとならないことが示された。以上より、求める(x,y)の組は(x,y)=(1,1),(2,1),(4,3)である。

y＝3xとy＝x ² +2のグラフ描いて、大小比較して、x ≧3で減少関数って言ってx＝6まで具体的に値を出してその値が½より小さいから3から5に限られてできた

おはようございます。 本日も楽しい動画をありがとうございました。 BGMを無くしていただけたことが嬉しいです。 発達障害などの特性をお持ちの方には辛いだろうなと思っていたので。

まずy=1のときについて調べて、次にy>1の時に(与式)≦3x/x²+2 +1/2 となるので3x/x²+2 ≧1/2と分かります、こっからxの必要条件が分かるのであとは代入してyが存在するか調べておわり

別解です。f(x)の評価のため、最初に微分や極限を使ってます。また、y=1とy>=2で場合分けを行い、y>=2の場合については、f(x)が1/2以上1未満という範囲にまで厳しく評価できるので、そこからxの必要条件を求めています。【別解】f(x)=3x / (x^2 + 2) とおく。f(x)をxで微分すると、x>=2の自然数xに対して、この関数は単調減少となることが分かる。このことと、f(1)=f(2)=1であること、および、x→∞でf(x)→0であることから、任意の自然数xに対して、0 < f(x) <=1 （➀）となる。(i)y=1のとき1/y = 1 と（➀）より、f(x)=1なる自然数xを求めればよい。これを求めると、x=1,2となる。したがって、求める自然数x,yの組は、(x,y)=(1,1),(2,1)となる。(ii)y>=2のとき任意の自然数yに対して、0 < 1/y <= 1/2（②）となる。このことと（➀）より、f(x) + 1/y が整数となるとき、f(x) + 1/y = 1（③）となる。（②）と（③）より、f(x)の値域は（➀）よりもさらに狭い範囲に評価でき、1/2 <= f(x) <1（④）となる。（④）を満たす自然数xは、x=3,4,5のみである。※2<√7<3や、xが自然数であることをふまえて（④）を解くと上記の必要条件が得られる。f(3)=9/11と③より、y=11/2f(4)=2/3と③より、y=3f(5)=5/9と③より、y=9/4よって、x=3,5の時はyが自然数にならず、不適。したがって、求める自然数x,yの組は、(x,y)=(4,3)となる。(i)、(ii)より、求める自然数x,yの組は、(x,y)=(1,1),(2,1),(4,3)となる。

(0を自然数に含む)x=0,y=1を代入0/2+1/1=1よって、(x,y)=(0,1)

1/yはｙ＝1のとき以外は自然数にならないって分かって、必ず分子が1だから、①ｙ＝1②ｙ>1の二つで場合分けをする。①は単純なゴリゴリ計算。②は1/ｙの分子が1なのだから、3x/x^2+2=k-1/k（ｋは1より大きい整数）⇔ｋ＝1+3x/x^2-3x+2　となる自然数を考えるといい。（ｘ>2）（分子が2ｋ-1や3ｋ-1を考えなくていいのは3以上において与式のｘの項の値が2未満と分かっていて減少関数だから）

3x/(x^2+2)+1/y=1 ⇔ 3x/(x^2+2) = (y-1)/y を考えるとき、評価ではなく、以下のような整数論的の議論で解ける：ユークリッドの互除法を考えれば右辺は既約分数です。左辺の既約性に注目すると、x^2+2とxが共通因数を持つとすれば、これもやはりユークリッドの互除法から２の約数であることがわかるため、結局、x^2+2と3xは高々最大公約数は6の因数にしかならないことが分かります。ゆえに、右辺と見比べて(x^2+2)-3x = 1,3,6の3パターンを解けば終了だと分かります。（暗に素因数分解の一意性から、既約分数表示が一意的であることを使用しています）

【東進】挑戦状が届きました。

(c) MathLABO〜東大発「みんなでつくる」数学ベスト良問集〜（マスラボ）　数学ぐんぐんは聞いたみたところ、東大同期も知ってました。 可愛らしい名前なのに、東進の最難関の数学講座みたいです。 整数問題の全 …

初見ですぐに解法思いつくスバルさんほんとに尊敬する

文系でも解けるようになるべきですね！

3倍角まだ覚えてませんでしたーただ解説聴くといっつもわかるなんかパスラボ見てたら楽しくなってきますいつもありがとうございます

鈴木貫太郎様の動画でsin10°の解がx³-6x+1=0であることを示し他の解を求めよって問題がありましたね巡り巡って有名な問題に帰着するところが数学の面白いところですね

以前の秋田大の問題で得た視点のおかげで解けましたm(*_ _)m

出てきた二次関数が何を表しているのか、そこが肝心。

θ=10° とすると sin3θ=1/2 であり、sin3θ=3sinθ-4(sinθ)^3であるので3sinθ-4(sinθ)^3=1/2が成立する。ここで、 0<x<1 を満たす実数xに対しf(x)=3x-4x^3-1/2と定めると、f'(x)=3-12x^2=-3(2x+1)(2x-1)であるので、定義域に注意して 0<x<1/2 のときf'(x)>0 より f(x) は単調増加する。このこととf(1/6)<0, f(1/5)>0より、 f(x)=0 の解の1つ x=sinθ は1/6<sinθ<1/5を満たす。したがって1/6<sin10°<1/5である。

3次関数がだいぶ大きいヒントでしたね

3倍角の公式にしたら貫太郎さんの8x^3-6x+1=0が出ましたね増減表のとき-1≦x≦1がミソかな？

九大の　sin10°が8x³-6x+1=0の解であることを示せ　という良問を貫太郎さんの動画で見てたので楽勝でできた。

y=sin(x)の凸性でいけそうですね〜

おはようございます。初見で出来ました！！今日は駿台共通模試なので頑張ってきます

九州大学の複素数平面の問題に同じようなやつあったなぁ。それ自力で解いた時の興奮は今でも覚えてる

おはようございます1/6をsinA、1/5をsinBとおいて3倍角にして解いたのですが大丈夫でしょうかね？

慶応と九大で似た問題見たからパッと思いついたなぁ、っぱ過去問よ！

参考…面積評価(結果次第では証明できない)0＜θ＜π/18(=10°)のときcos(π/18)＜cosθ＜1⇔∫cos(π/18)dθ＜∫cosθdθ＜∫dθ⇔π/18×cos(π/18)＜sin(π/18)＜π/18…(θ:0→π/18で積分)π/18×cos(π/18)＜sin(π/18)より、｛1+(18/π)^2｝sin^2(π/18)＞1⇔sin(π/18)＞1/√{1+(18/π)^2}(＞0より)以上より、1/√{1+(18/π)^2}＜sin10°＜π/18ちなみに、1/√{1+(18/π)^2}＞1/6は、⇔35＞(18/π)^2⇔π^2＞324/35=9.25…より、π^2＞9.3を示せばよく、π＞3.1⇒π^2＞9.61から示せる。π/18＜1/5は、⇔π＜18/5=3.6から示せる。結果的にこの方法でも示せることがわかったQ.E.D.

東大模試で似たやつで来て解けた

ぐんぐんは旧帝レベルよ

駿台の東大模試で類題が出されてましたね

あ、感動。笑笑

素数の証明　有名問題（一橋大後期）

(c) MathLABO〜東大発「みんなでつくる」数学ベスト良問集〜（マスラボ）　素数の証明は「背理法」と「対偶」 整数問題の全パターンでもこの手の証明はあるので 類題の演習にぜひどうぞ！ 整数問題の全パターン …

面白いし、タメになるし、わかりやすい、最高

最近、朝起きてこのチャンネル見るのが日課になりつつある……数学って面白いなやっぱり

対偶証明の得手不得手は本当に数学学習全体に大きな影響を及ぼしますね。まぁ一言で言ってしまえば集合と論理という地味で高校生には軽視されやすい、論理おばけみたいな単元の内容にある程度通じておくといいです。別コメントにも書きましたが、それが情報の世界でも基礎となりますし、集合論は大学では集合と位相という単元を通じて解析学と幾何学の基礎へと発展します。

今年の京大も似たような問題ありましたね。

この問題の(3)も解説動画上げてほしいです。

2017年の佐賀大理工後期の３番がまさにこれでした

おはようございます。対偶と因数分解だな〜、と流れはすぐに頭に浮かびましたが、どうしても独学でやり直ししてると論証論述が甘くなりますね。しっかり復習したいと思います。今日もありがとうございました。

へえ。そういうことになってるって、初めて気づきました。いい問題ですね。対偶を考える。aが素数でないとすると、aが少なくとも2つの因数b, cの積で表せて、a=bc (b>1, c>1)とする。このとき2^b=Bとおくと、2^a-1=2^(bc)-1=B^c-1=(B-1)(B^(c-1)+B^(c-2)+…+B^2+B+1)と表せて、ここでb>1よりB=2^b>2なので、B-1と(B^(c-1)+B^(c-2)+…+B^2+B+1)がともに1より大きい因数になる。aが素数でないと、2^a-1も素数でないと言える。

今日からYouTubeこのチャンネルしか見ないわ、面白すぎる

東大でよく出る通過領域の問題など良ければ扱ってほしいです！

問題文で「aが自然数」という条件が抜けている。この条件がないと、aが素数以外でも「2^a – 1 が素数」を満たす a が無数に存在し、問題文の命題自体が偽になってしまう。また、単に「aが整数」と示されている場合は、素数でないというのは1の他に0や負数も忘れてはいけない。

感覚的な話になりますが2^aはaより複雑ですね。単純なものをもとに複雑なものを計算する方が楽かと思います。nからのn^2みたいな。そういう考えのもとだとaから先に考えたい、→を逆にしたい、そう考えられると待遇が思いつきやすいと思います。

メルセンヌ素数ですね一橋受ける人だと完答したい一問ですね

成る程なるほど・・・学ぶねエ‼️

「ならば」の後ろがシンプルだったから対偶は思いついたけど「1」の存在を忘れてましたあああああ

夏休み中に青チャートで基礎固め頑張ります😱

ほかの分野の問題もあげて欲しい

ありがとござます！！

対偶証明法がはやそうだなぁ。

メルセンヌ素数ですね。名前を思い出すとき大体ドイツの某自動車ブランドを経由してしまいます()完全数においても重要な数字ですね。

面白い数学クイズ【正答率7.5%】

(c) MathLABO〜東大発「みんなでつくる」数学ベスト良問集〜（マスラボ）　意味がわかれば小学生でも解ける？そんな面白い数学クイズです。 （中学入試にもでてきそうな良問ですね） 整数問題の全パターン解説は …

(2+1)²⁴⁰-1 でも解けますが、₂₄₀C₂₃₈2², ₂₄₀C₂₃₉2 がどちらも2⁵を因数に持つ形なので、今回の場合もう少し計算が必要。 ただ、これで解いた人も多いはず。 (4-1)²⁴⁰-1 の方がまだよいかも。

因数分解するところまではいいとしてそのあとはmodに着手できずに3+19+127+1…として3^(2m+1)+1が8の倍数でなく4の倍数であることにmodの合同を用いて示す形になるのが発想として実現可能な解き方かなと思いました。

最近整数の解き方が定着しつつある自分に気づいた

この問題めちゃくちゃ面白かった！！今日はいいスタートきれた気分🎶

おはようございます。「マスター・オブ・整数」では以下のような誘導問題となってます。N=3^m（m は自然数）として(1) m が奇数のときに、N を素因数分解したときの 2 の指数は何か(2) m が奇数のときに、N+2 を素因数分解したときの 2 の指数は何か(3) (3^240)-1 を素因数分解したときの 2 の指数は何か（一部表記を変えています）で、解説では mod8 が大活躍している感じ〜。この「大数」の「分野別重点シリーズ」、結局マスター・オブ・整数と、マスター・オブ・場合の数の２冊で終わってんだよな〜。編集部、飽きたのか担当が道なかばにして死んだのか知らんけど…。今日もありがとうございました。=ↀωↀ=

鈴木貫太郎さんだとおそらく、(4-1)^240-1で二項展開して、最後の二項をチェックしてみたら、必ず2^6を全て因数に持っているので、6回で割り切れるって感じかな？？

整数問題はパスラボで強くなったと言っても過言ではないくらい役に立っている

因数分解使えば簡単だなー！僕は(6561^30-1)/64が奇数であることを二項展開して示しました。初項が15で残りは全て偶数です。mod8の場合を忘れる等のミスは防げますが、多分スマートではありませんね。

これノーヒントで解ける人は、着々と整数問題で使える手駒が増えてる証拠。決して簡単ではないので自信持っていい。

今回のは高一でまだパスラボしか見てない自分でも解説見ないで簡単に解けた！！

2連続の偶数は一方が4の倍数でもう一方は2の倍数にしかなり得ないことを先に証明するのが早いと思います

2の倍数だけど4の倍数じゃない⇔2が１個 しかないに気づけたら勝ちの問題ですね。

合同式って強力な武器になるなあと感じました。

mod4で解けた。嬉しい😊

modを知らない脳筋の解き方・動画内の因数分解した形の因数を左からa.b.c.d.eとして(文字数増えちゃうから)まずeの値を計算して2×奇数である事を確認。さらにそのままdも計算して4×奇数である事を確認。ここでdとeをまとめて、(c)(de)の形(c=de+2)にすると、cが8n+2である事が分かる。同様にc.d.eをまとめると(b)(cde)から、bが16n+2、aは32n+2って事がわかる。そしてこの16n+2みたいなのは2(8n+1)って感じで2×奇数って分かるから、それぞれの因数を見てくと2の何乗かわかる。長々と失礼しました

logを使って解けたりとかもするのかどうか気になりました。

でたああああ！数学系YouTuber御用達の和と積あああああ！！！らめぇぇ！！！これみたら和と積しかできない体になっちゃったのぉぉぉ♥んほぉーー♥♥

なぜ俺は和と差の積に気が付かなかったんだ…

ほぼ完全にLTEの補題ですね。知ってる人は得かもしれない。

マスター・オブ・整数数日前に買ってました！偶然ですね