MathLABO〜東大発「みんなでつくる」数学ベスト良問集〜（マスラボ）（おすすめch紹介）

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2021.12.24

【絶対値の裏技】場合分けは『一発アウト』です。

(c) MathLABO〜東大発「みんなでつくる」数学ベスト良問集〜（マスラボ）　今回は自然数nに関するの絶対値の最小値問題。 |n-1|+|n-2|+…+|n-20|はもちろん |n-1|+|n-2|+…+|n-10000|とかになっても最小となるn …

確率以外でこの形見るの初めてだったので勉強になりましたありがとうございます😊

これの傾きだけに注目する方法1対1で最初に知った時はほんとに感動した

xy平面にy=-xでかいて、どっかで正負がいれかわる。そこの面積の最小値を求めればいいから…とかやってたら、分からなくなった。解説されてたやり方が、凄く数学的で気持ちいいです。

nからの距離として考えた時に丁度半分にしたら折り返しになるから10が最小になるのは直感的にわかったけど漸化式みたいに考えるのは思いつかなかった

答えが中央値となる施設配置問題の特殊な場合ですね。応用問題として、距離関数をマンハッタン距離ではなくユークリッド距離、一次元ではなく二次元とか色々な種類があるので楽しいですよね。

一対一で傾きだけを考える解法もありましたそれなら、反則的な方法ですが最小値取るnの値は5秒で分かりますね動画の解法は初めて知りました！

漸化式ラボで二項係数のシグマ計算を教えてほしいです！

n=10の時傾き-1でn=11の時傾き1なので減少から増加に切り替わる。10くnく11の時傾き0って考えると自然数じゃなくても解けそう

中央値の定義づけにも用いられる式ですね。n:自然数なのでn=10,11になりましたが実数に拡張すると10.5になりますね。

7:35 せーのって言った後に合わせる気ないone hundred!!!で笑った

nを連続値とみたときSは連続、nが1から20までの整数以外で微分可能でそのときS'(x)=[1から20でxより大きい値の数]-[同xより小さい値の数]ゆえ、増減表が書けそうです。x<10の微分可能点では微分不能な点を挟みつつS'(x)はマイナスが続き、10と11の間では横ばい、x>11でプラスが続きます。こんな増減表は見たことないです。

サムネチャレンジ（解）　S(n)はnと数直線上の点1, 2, …, 20の距離の和ととらえることができる。このとき、n以下の点の数がi個、nより大きい点がj個（i + j = 20）のとき、nからn+1に増えるときS(n+1) – S(n) = i – jである。　従って、n = 1から開始してS(n+1) – S(n)が0以下になるときのnが求める最小値である。　∴min S(n) = S(10) = 100

nを実数まで一般化してy=|x-1|,y=|x-2|,…,y=|x-20|のグラフ（それぞれy=|x|のグラフを1,2,…,20だけx軸正方向に平行移動したもの）の重ね合わせを考えたら、それぞれのグラフの折り返し点（y=0となる点）の左右での対称性を考慮すれば、全折り返し点からの距離の合計が近いxで重ね合わせたグラフのyが最小になることがわかる。このxは（同じく左右での対称性から）x=10.5。xを自然数に限定しても同じ考え方ができるので、定義域が自然数のときに重ね合わせたグラフのyを最小にするxは10.5から等距離の10または11。

数直線上の線分の長さの和と考えて直感的にn=10,11としました(論述では多分ダメかな)

外側から組み合わせて三角不等式で評価すると>=100, n=10（またはn=11）で実際に等号が成立するから最小値は100

n=10、11とかそこらへんで絶対値でマイナスをつけて外れる個数と、そのまま外せる個数が逆転する。なので、そこらへんでnの係数が-から＋に転ずるので、そこらへんの値を調べればいけるだろうなあと思った

神授業

答案としてやっていいかわからんけど三角不等式を使ったらn=10とすぐに出た

|ｘ-1| + |2ｘ-1| + |3ｘ-1| + …. + |100ｘ-1| を最小にする実数ｘの値を求めよ.という少し変えただけなのに解けなくなるんだよなー。より汎用性のある場合分けの解法も知っておかないとね。

数直線でかんがえるとはやいやつだ

【数学良問の旅】自治医科大学（栃木県）難易度C

(c) MathLABO〜東大発「みんなでつくる」数学ベスト良問集〜（マスラボ）　実はこの問題、数学オリンピックの問題とほぼ同じみたい。自治医科大学の問題、数学オリンピックを参考にしたのかな？相加相乗平均 …

大学生になってからもこうやって受験数学を学んでるとなんか新鮮です。大学だと整数問題とか全く触れなくなるから楽しいです。

自治医大数学はセンター試験に毛が生えたレベルのものをセンター試験の倍速で解く感じですね。ぱっと見て解法を思いつかなかったら捨てるのも大事

相加・相乗平均使うんだろうなってとこまではわかったけど2^17/tを2^16/t+2^16/tに分けるのは思いつかなかったのめっちゃ悔しい

2x＋　1/x^2 の最小値を求めるのに、x＋x＋1/x^2とみて相加相乗使う問題あったなあ、にしても今回の問題の形で出てくるとは思わなかった

この問題の重要ポイント相加相乗平均の関係から最小値を求める解法（x+y+z≧3{xyz}^1/3)のポイントは①xyzが定数になる②x=y=zとなる可能性があるの2つです。実数tの値が大きくなればなるほど、t^3の値も大きくなります。したがってt^3=2^16となる実数tは一つしか存在しません。

Aⁿ+A⁻ⁿの形を見たら一旦相加・相乗平均だったり二乗したりの発想持っとくと案外さくっと済むことがありますね…………けどやっぱり微分は神

最初に見た時、相加相乗平均使えるかと思ったけど、次数合わなくて無理や！って思ったけど、そうやって次数合わせる方法があるとは！

おはようございます。数III やり直し中なので最初のやり方で片付けましたが、SSH も捨てがたい魅力あり。自治医って１次試験が短時間に小問とにかくたくさん解かなければならない出題形式だったと思うので、時短で解ける解法を数多く知っておくのは良い対策になるのでしょうな。今日もありがとうございました。=ↀωↀ=

理系ならこの相加相乗平均知ってる人多いですよね。

裏技相加相乗かな〜って思ってたら当たった。

類題が数検２級の２次試験で出て、正答率低かったですが解けました。しかも、それが解けたおかげで合格できました。ありがとうございます。

おはようございます。53日目！微分の方しか思いつかなかったです…相加・相乗平均なかなか使いこなせない💦

微分を使わないで関数についての問題を解くってなったら大体の場合相加・相乗平均の不等式を用いますね。

備忘録55V” ⑴ 【通常 ~ 微分法】 2ⁿ＝ x ( > 0 ) とおくと、 ( 与式 )＝ x²＋2¹⁷/x ＝ f(x) ( x > 0 ) とおいて、f'(x)＝ 2( x³－2¹⁶ )／x² f'(x)＝ 0 とおくと、x＝ 2^16/3 増減表よりこのとき最小となる。よって、n＝ 16/3, m＝ 35/3 ■ ⑵ 【三つの ~ 相加平均 ≧ 相乗平均】 « 掛けて x を止めにする工夫 » ( 与式 )＝ x² ＋2¹⁷/x ＝ x² ＋2・2¹⁶/x ＝ x² ＋2¹⁶/x ＋2¹⁶/x ≧ 3・∛( x²・2¹⁶/x・2¹⁶/x ) ＝ 3・∛( 2¹⁶・2¹⁶ ) 等号成立条件が求めるものだから、 x²＝ 2¹⁶/x ⇔ x＝ 2^16/3 ( > 0 ) よって、n＝ 16/3, m＝ 35/3 ■

こういうのは、自分で類題を作ってみるのをオススメします。たとえば、x＞0x^3+6x+24/xの最小値は？とか。微分禁止だとしたらどうしますか？ヒント:次数や係数を工夫して、10個バージョンの相加相乗平均不等式で解けるように作ってあります。

2のm乗と2の2n乗の和で、これらの値の比は、mとnが同値のとき、1対2。よって、mは3分の34、nは3分の17と考えたら、近似値が出ました。答えの値と一致しないのは、mとnの値が無理数であるのに、無理やり分割して2つに分けたからなのではないかと考えました。

相加相乗平均っぽかったけど分裂させる発送が出てこなかった…

相加相乗平均は正の実数の確認と等号成立の確認が必要だし何より等号がいつでも成り立つとは限らなかったり、やり方を間違えると等号が成り立っていても最小値じゃなかったりする。微分での確認をやった方がいいと思う。

指数の最小値って大抵相加相乗出てくるイメージある

相加相乗平均にするのかなと思ったけど、3つの相加相乗平均は思いつかんかった。悔しい。

tan7.5°を求めよ【2021年青山学院大】

(c) MathLABO〜東大発「みんなでつくる」数学ベスト良問集〜（マスラボ）　sin15°の図形的な求め方が伏線となった良問でした！引き出しを知ることの楽しさ味わっていただけましたか？（有理化しなければ秒で …

正接の加法定理は｢1干(ほす)tantan tan土(つち)tan｣で覚えました。(複号同順)

やっぱり色々な引き出しがあるとスパッと解けるし楽しいですね！！

おはようございます。座標平面上で正接を直線の傾きとして考えてもできますね。計算面倒なのは気合いで乗り切りましょう。今日もありがとうございました。

鈴木貫太郎先生の動画のとある視聴者さんが、最後の裏技の考え方をしていたのを思い出しました。

前に鈴木貫太郎さんがこの問題解説してくれてたおかげで思い出して解けました

30°の方を半分にしてっても良いですよね

とても良い問題ですね。自分も高校で数学教えていますので参考にします。

図形的に解いていって、出来たと思ったら最後の有理化で心が折れる説

確かに『数学の幅』が広がりました‼️

8:51(√2+1)(√3+√2)分の1が正しいのでは？

図形の解法、神やなぁ

開放はすぐに思いついた。かんたろうさんがよくやってるきがす

俺からしたら最後の因数分解知らなかったから数式でやった方が速かった

これはめっさ簡単だった〜

図で解きました！

貫太郎さんの動画でコメント欄に秒で解ける回答が！みたいなのかありましたね。自分は図形的に解きました。

半角公式使えれば、sinθ/cosθかな。

見た瞬間わかったw tan1°が無理数であることの証明で学んだw

おはようございます☀️.°47日目！どっちの考え方もマスターしたい！

tanの加法定理、分子側と符号同じで、いたんたんぶんのたんたんって覚えた

素数の”裏技”を見せます【受験生必見】

(c) MathLABO〜東大発「みんなでつくる」数学ベスト良問集〜（マスラボ）　素数を見たとき、この発想は大事です。（素数の引き出しがアップデートされたはず！）整数問題の全パターン解説はこちら …

スバルさんの数学って見ていてとてもわくわくしてきます…！！なので数学辛くなったら楽しそうに解いてくれるスバルさんを見にくるとやる気がでてきます😊💪

最初に右辺が24以上(or48以上）なので、少なくともpは5以上であることがわかります（そのため最初にp≠2,3と範囲を絞ってから使ってみてください！）

折角これまで「平方数はmod3, mod4に弱い」と教えてきたのだから、その流れで「pはmod3でも4でも±1」→「p＝6k±1とおける」と導いた方が良いのでは思いました。

2でも3でもない素数は6m±1とおけるのは便利ですねpが奇数となることを示してp=2n+1とおき、n(n+1)=2×3×qとしてnとn+1が互いに素であることを利用するのを最初に思いつきました

解いた後に解のペアを観察して、qがpよりも大きくなってはならない理由、pとqがあまり離れてはいけない理由を考えると新しい解法が見つかると思います。

左辺≧48からp≧7がわかるので、pが5以上の素数ってことがわかりますね。

備忘録70V” p, q ∈素数【 ( p＋1 )( p－1 )＝ 2³・3・q ･･･① 】p ≠ 2, 3 ( ∵ ①に代入不成立 ) だから、☆ p＝ 6m ± 1 ( m ∈自然数 ) と表すことができる。〖これは必要条件であることに注意する〗( ⅰ ) p＝ 6m＋1 のとき、① ⇔ m・( 3m＋1 )＝ 2・q m < 3m＋1 に注意して、 ( m, 3m＋1 )＝ ( 1, 2q ), ( 2, q ) これより、( p, q )＝ ( 7, 2 ), ( 13, 7 ) ( p, q ∈素数を満たす )■ ( ⅱ ) p＝ 6m－1 のとき、① ⇔ m・( 3m－1 )＝ 2・q m < 3m－1 に注意して、 ( m, 3m－1 )＝ ( 1, 2q ), ( 2, q ) これより、( p, q )＝ ( 11, 5 ) ( p, q ∈素数を満たす )■

p,qがそれぞれ偶数の時を考えて、それ以降はp+1とp− 1がともに偶数であることを利用する。24qを素因数分解してそれぞれ当てはめて、p+1とp− 1との差が2になるような組み合わせを見つければ10分掛からず終わりました

整数で、2でも3でも割り切れない数は、5以上の数になるので、2と3を組み合わせた数の±1が素数になるんですよね。もっと言えば、素数は6の倍数の±1に出てくる可能性があって、後半に出てくる素数との組み合わせで出てきたりててこなくなったりするんで、予測が難しいんですよね。

{左辺}=(p+1)(p-1)で素数pの連続する前後の数の積だから、{右辺}を(n+1)(n-1)　(nは整数)の形になるパターン考えて適・不適を吟味するかな～。24は小さい数字だし、q素数だから素因数分解できないし範囲絞られるからごり押しちゃう笑6m±1は発想いるね。

私は左辺を因数分解したあと、左辺のカッコの中身がいずれも偶数である(∵p≧7)から、右辺の2をカッコに振り分けて見ました。解法がいろいろありそうですね。

もとの問題は、 (1) 自然数 n が 6 と互いに素であるとき、n^2 を 24 で割った余りは 1 であることを示せ。 (2) （この動画の問題）なので、(1) が (2) の p の置き方のヒントになっております。

裏技を強調する構成だったと思うのですが、p,qともに素数よりq≧2⇒p≧7を最初に述べておくべきかと。(コメントで補足はあったものの、そこまで読まない子もいるかと思うので)

pとqの差をaとでもして、q=p+aをp^2-1=24qに代入し、解の公式を使ってp=の形になおした式を眺めると、pが正の素数になるためのaの条件がわかり、作問の仕組みがわかると思います。この問題と同じ方法で解ける-1,24以外の係数をいくらでもつくれるようになればなお良いです。

裏ワザすごい色んな引き出し増やしたい

今回例えば4m±1とかではなく6m±1を使う必要性は、右辺が24以上だからp≧5になる所から来てるのかな

もしp=6m±1という発想が浮かばない場合自分はこうしました(1)24q≧48だから、そすうpがあるとすればp≧7(2)7以上の素数pを、p=2m+1(mは3以上)とおく(3)代入場合分けすると、3つの候補があるのでそれらは全てpが素数であることを満たす

「pは素数かつ2でも3でも割り切れないため」って記述すれば、ぎりぎりセーフかな？と思いました。ただし、論理の飛躍と言われるかは大学次第。まぁでも、5以上の素数はp=6m±1とおける…とか、2,3は題意を満たさないためp=6m±1とおける…とかの方が紛れないですね。

表技ならp奇数から　p=2m+1 m^2+m=6q m(m+1)=6qだけど、3*2*qの組み合わせになるけど　qが素数で２以上であることを考えると　振り分けそんなに難しくないよ。

【検証】東大卒は完全初見で解けるのか？｜数列漸化式（2009 名城大）

(c) MathLABO〜東大発「みんなでつくる」数学ベスト良問集〜（マスラボ）　数列漸化式は考え方さえわかればパズルみたいで楽しいですね！ただ誘導なしだと少しきついかも汗ちなみに数列漸化式って言いますか …

学生のころ数学は「あぁ、そうか」の積み重ねで解くものと思っていました。今回すばるさんが正にそれを体現してくれたような気がして嬉しかったです。

本当に欲しい情報は最大にするn。普段の演習では一般項を求めることが多いので計算したくなる人もいると思いますが、そこまでやる必要があるのかを一度踏みとどまって考えられるといいですね。ちなみに隣同士の大小関係は動画でも触れられている通り、割り算か引き算で見れます。複雑なものが掛けられていて約分できるので割り算の方が多い印象ですが、これもどちらがいいのかその都度判断できるといいなと思います。

体積とか、高校入試にでがちの面積比とかの問題扱ってほしい

頭悪くて国立落ちた現役名城大生から言わせてもらいます、名城は基本を抑えた良問多いから難関大目指してる人には簡単だと思うけど解けば何処が理解出来てないとか見えやすいと思います。有機化学とか基本に忠実でおすすめです

最近数列練習してたからこれできたの嬉しい！

自分の中ではこうやって数列そのもので割ったりかけたり都合のいい形を作ってくっていうのができたら漸化式の中級者入門かなってかんじ

確率の最大最小の波動を感じたから方針は立ったの嬉しい

名城は物理も良問多いイメージ

気になって調べたところ、名城大学2016年度の理系にもこの問題の進化版のような問題が出題されていました！！！

数3の体積の問題とかの解説も見たいです！

ウルフラムアルファでこの漸化式の一般項求めさせたらΓ関数、ζ関数出てきて凄いことになった

漸化式これからもやって欲しいです！

漸化式を解いてしまったせいでむしろ求めることが出来ませんでしたw

確率の最大最小のノリでやったら簡単だった！！