MathLABO〜東大発「みんなでつくる」数学ベスト良問集〜（マスラボ）（おすすめch紹介）

伝説の東北大入試　整数の超有名問題【減点注意】

(c) MathLABO〜東大発「みんなでつくる」数学ベスト良問集〜（マスラボ）　惚れます。感動します。伝説級の東北大の整数問題（良問） 数学良問の旅、東北地方最後に難易度Cを持ってきました！ もはや整数問題の …

【追記】(2)はaが奇数と仮定して矛盾を示す背理法としてシンプルに考えて大丈夫です。(その場合aが偶数の時に成り立つかの確認は不要です！)ご指摘いただいた方ありがとうございます。

(1),(2)解けて成長を感じました！（3）は解答見て色々吸収できたのでめちゃくちゃ楽しかったです！！

どうしたらそんなに分かりやすく解説ができるんですか？

なんか見たことある問題だなと思ったら現役の時これ本番で解きましたwwこの年数学がめちゃむずくて多分これが唯一完答出来た大問だと思います数学壊滅したけど今は当大学の工学部4年です、ダメだと思っても以外といけたりするんで受験生の皆さんは頑張ってください！！

東北大数学は旧帝なのに簡単だからすらすら解けて楽しい

自分は(3^k+1)、(3^k-1)が同時に4の倍数にならない事を示して、3^k-1が4以上の時絶対にどちらかは素因数に2以外を持ってしまうのでk＜2からk=1のみである事を示して最終的にa,b=(1、1)(2、3)を証明しました。細かい所は大分省きましたが、大体他は分かると思います。

(2)は対偶使っても良さそうですね、aが奇数の時、mod4で2になりますから、b=1のときだけになります

今日も楽しかったです😊

数の成り立ちを正確に追う為に何を知っていて何を使うかを問われる問題だなぁまさに国語

いつも楽しく拝見しています。社会人のおじさんですが、passlaboの動画をきっかけに、かつて苦手だった整数問題がわかるようになってきて、また数学を勉強したいと思うようになりました。これからも宜しく頼みます👌🏼

これたっつーときむさん誘導なしで解いてたな笑

中3なんですけど、aが偶数→3^2lになるから2乗-2乗の形になって、A+Bは正だからA-Bのほうから攻めれないかな〜とか思ってたらほんとにその方針で進めてて感動(逆にそれしかわからない)

おはようございます。(2) はむしろ b=1 と b>1 の場合、2^b にどのような違いがあるのかを考えて 4 の倍数か否かに至りました。誘導に従って解くと、最初予想していたよりも解きやすかったです。今日もありがとうございました。

良問の旅とか青チャートとかなにかしらのくくりで再生リスト作って欲しいです！

おはようございます！43日目！だんだん数学が楽しくなってきた〜

サムネからチャレンジしてみました。（解）　a>0のとき3^aは自然数であり、a<0のとき0<3^a<1である。同様に、b>0のとき2^bは自然数であり、b<0のとき0<2^b<1である。ゆえに、a=b=0は解とならないから、3^aと2^bの差が整数になるためには、a, bは自然数でなくてはならない。　また、与式の両辺にmod 3をとると、-(-1)^b ≡ 1（mod 3）となるので、bは奇数である。　ここで、　[1] b = 1のとき、3^a = 3となるから∴a = 1を得る。　[2] b >= 2のとき、与式の両辺にmod 4をとると、(-1)^a ≡ 1（mod 4）となるので、aは偶数である。よって、a = 2c（c∈N）とおくと、与式 ⇔ (3^c + 1)(3^c – 1) = 2^bと書ける。　従って、3^c ± 1は素因数に2のみを持つ。さらに(3^c + 1) – (3^c – 1) = 2であるから、3^c – 1 = 2 ⇔ c = 1 ⇔ a = 2とわかる。このaのとき、3^2 – 2^b = 1 ⇔ 2^b = 8 ⇔ b = 3を得る。以上より、題意の整数(a, b)は(1, 1), (2, 3)のみである。

解けた時気持ちよかったです、良問をありがとうございます

誘導なしで解いたキムは化け物

4を法とすると3^a-1≡(-1)^a-1∴ aは偶数こっちの方がややスマートですねもちろんどっちでも正解ですが！

最後十分性を確認することを忘れずに！

桁数を求めよ（新潟大 2012）

(c) MathLABO〜東大発「みんなでつくる」数学ベスト良問集〜（マスラボ）　他の面白い入試問題（桁数問題）はこちら！ https://youtu.be/qHAgbvCPLAw 整数問題の全パターン解説はこちら …

本質的には同じ解答ですがスピード重視でいくとこんな感じです。記述 8 行、ほぼ暗算で終わらせます。3^26 = 9^13 < 10^133^13 = 81^3・3 > 80^3・3 = 64・24・10^3 > 60・20・10^3 = 1.2・10^61.44・10^12 < 3^26 < 10^13以上より、3^26 は 13 桁。

3^13を計算するのは面倒なので、3^6 * 3^(1/2)で考えるのも良いかもしれない。3^6 = 729 より、3^6 * 1.5 > 10^3i.e. 10^6 < 3^12 * 2.25 < 3^13

9<10から、9^13<10^1310^12-9^13を求めるにあたって(10^6-3*9^6)(10^6+3*9^6)となるから結局はすばるさんのいう不等式を示すため、頭の中で値を求めました(計算はアバウトなので点数はないですが)

３の冪乗を途中まで計算すると12〜13乗くらいに収まりそうだと予想はできる。その後はlog3の近似値を探すことで本来の半分の桁数の計算でフィニッシュでした。

10^12=100^6<108^6108^6=2^12*3^183^26と2^12*3^18の大小を比較すると3^8=6561>2^12=4096より10^12<108^6<3^26で下限がわかります

雑な感じがしますけどサムネ見て手計算で解きました。3^26＝9^13<10^13一方で3^26=9*81^6>9*80^69*80^6=9*2^18*10^6>9*2^8*10^99*2^8*10^9=2034*10^9>10^12従って10^12<3^26<10^13なので、3^26は13桁//3^2=9<（≒）103^4=81>（≒）80=2^3*10 2^10=1024>（≒）1000=10 ^3　の3つは覚えているのでこれを使い回せば解けますね。

直感で3^2=9だから大体10と考えれば3^26が12か13桁になるってのはまず予想つくが後はどう道筋立てるかがわからんかった

3^4=813^8=65613^12=5314413^13=1594323つまり1×10^6<3^13<2×10^61×10^12<3^13<2×10^12よって13桁。個人的にだけど、9^13と10^13は結構違う感じがして、13と12のハサミ打ち1発で決まるか不安に感じるから上の脳筋計算の方を先にしてしまいそう。

3×3=9だから9^13とする。(10-1)x(10-1)=100-10-10+1。(100-10-10+1)x(10-1)=1000-100-100+10-100+10+10-1つまり９をかけた数-1の桁数（12桁）になりそうっていう解法はないものかな？

このくらいなら9の13乗手計算してもまあまあ早く答え出せそう

計算できなくはないのが困る(計算で解いちゃいそうで)

二項定理は数学の根本の定理。使いどころが多いですね。

今回の問題は他の人も多数書いている通り、「3^26」→「9^13」にまず変換すべきでしたね。ケタを求めるんだから。10に近い9に変える事から始めれば、より考えやすいです。

めっちゃ計算簡単にして(例えば6400を6000にしたり)不等式つかえばすぐできた

グラハム数知ってる人なら矢印表記の説明で3^3^3がおよそ7兆になることを見たことあるかもしれない、それでも一応解ける

3^26=9^13=(10-1)^13を2項定理で開く10^13より以下の部分が0より小さく(正の数なら10^13より大きくなるから)-9*10^12より大きい(各項10^12で揃えて係数比較)から10^12<3^26<10^13より13桁で解いた実際の試験でも最大で13C1〜13C6まで計算すりゃ良いしそんなミスりやすい解方ではないと思う

3^13を計算するのであれば、それを2乗すればもっと早く答えが出るのでは？15*10^5 < 3^13 < 16*10^5(15*10^5)^2 < 3^26 < (16*10^5)^22.25 * 10^12 < 3^26 < 2.56 * 10^12

9^13から(10-1)^13で二項定理使って解くのかと思ったら違ったか…こっちの方が面倒なのかな？

これ解いたことあるけど、6/13<log3<1/2を示せって誘導あった気がするな

これなら最悪ごりごり計算でもいけそう

【面白い数学問題】今度は中１からの挑戦状。視聴者さんのセンスすごすぎない？

(c) MathLABO〜東大発「みんなでつくる」数学ベスト良問集〜（マスラボ）　前回の中３の子からの挑戦状はこちら！ https://youtu.be/rpsOW-11EzE 整数問題の全パターン解説はこちら …

大学受験生にとって意外と忘れがちな高次方程式扱ってもらって助かります。共通テストでは出ないかもしれませんが、2次試験では十分に出されるような範囲かと思います。他の視聴者さんも中学生の問題だから〜といって好き嫌いせずに是非解けるようになってもらいたい！

71歳の運動好きのおっさんです。高校入試レベルの整数問題は面白いね。頭の体操になるね。高校の時にすばる君のような仲間が身近にいたら更に数学が楽しくなっていただろうな。今からでも楽しめるな。

実数の問題を複素数に拡張すると簡単に解けるの、不思議かつ魅力的だよなぁ

解けました！🎊すごい達成感を得られました‼️自分流オリジナル解法は,x=11として、1️⃣『分子をx^5＋x＋1, 分母をx^5＋x^4＋1』この形は必ず約分できると直感して仮にx=1を代入したとき1のまま。① x=2を代入したとき,35/49=[7×5/7×7]=5/7。② x=3のとき,247/325=[13×19/13×25]=19/25。③ x=4のとき,1029/1281=[21×49/21×61]=49/61。このときに① x=2のとき[7同士]② x=3のとき[13同士]③ x=4のとき[21同士]に因数分解できるので、1️⃣『 』を応用して、①②③を上手く工夫して2️⃣『①x=2を代入して7になるし ②x=3を代入して13になるし ③x=4を代入して21になる』x分解を探し出して、ほぼ全部書き出して,(x＋5), (x^2＋3), (x^2＋x＋1),(x^3－1),(x^4－1),(x＋10),(x^2＋4)(x^3－14),(x^4－68)(x^5…)…etc…この中で,2️⃣に全て満たしているものは【x^2＋x＋1】だけなので、1️⃣は分母 分子 共に【 】で割り切れるので、それで因数分解出来て、分子=(x^2＋x＋1)(x^3－x^2＋1)分母=(x^2＋x＋1)(x^3－x＋1)となり、約分してx=11を代入して答えを導けました‼️今回も閃きました。

こういう係数が±1だけの多項式を見たら、1の6乗根を疑うのが定石ですよね

見た瞬間にωが思い浮かんだのは自分の成長感じられてすごい嬉しいし楽しい。

x^5+x^4+1はx^5とx^4がそれぞれ実部が-1/2になる複素数になればいいじゃんと思ったらそれってωだと気付いて因数分解できて、x^5+x+1はx^4 , x^3 , x^2を足して引いた式を作ったら因数分解できるやつじゃんと気付いてこれもうまくいって、そしたら共通因数が出てきて終始爽快でした。

x = 11 なので x-1=10を用いて最後の計算を楽にすればよりスマートですね。

中一から来た問題だからといって中一の学習指導要領で解ける問題じゃないからどこまでの知識を使っていいのかっていうのは難しいですね

とりあえず連分数にして、途中でωの式で割り切れたので解けました

数II使うとω^2+ω+1=0のありきたりなやつ。いや、普通の(？)公立校では、整式の割り算も次数下げのテクニックもパスカルの三角形も一応数II。因数分解は中3だし3乗の因数分解は一応数I。

x=11として連分数にしてゴリゴリしちゃったωとか因数分解とか思いついたら気持ちいいだろうなぁ

「数学良問集」というならfocusのlevel up問題からでも適当に選んで解説してほしい

割り算のところ割り進めた方が脳死で早そうw

中１からの挑戦状ということであるようなので、是非中１までの学習範囲で解いて見てほしいです

この中1生がどーゆー考え方で作ったかわかんないけど、3乗の因数分解って公立中では習わないんだよなぁ習っても私立中…

最初の式をいきなりパスカルの三角形で161051+12/161051+14641+1にして161051+12/161051+14641+1＝161063/175693で1から引いて146230/175693まではいったんだけどな

この程度ならそのまま力づくで計算した方が早いんじゃね？って思っちゃった自分は負け

まさか、中1でωを知ってる？それはともかく大したもんだなぁ～と思った。 数字自体はたいして大きくないので、そのまま161063/175693からユークリッドの互除法使いました。

とりあえず考えるの面倒くさいから11の掛け算とか数字小さいから頑張って暗算する

解けない不等式？（京大入試文系）

(c) MathLABO〜東大発「みんなでつくる」数学ベスト良問集〜（マスラボ）　基礎的な問題ですが、特に理系は２通りで解けるように！ 1979年の京大入試（文系）の良問です。 ~~~~~~~~ □MathLABO〜東大発！

実験の重要性とキーワードから使える道具を推測することの大切さが分かりました。自分は、(n+1)^2をn^2で割るとnが3以上の時は2より小さくなるからn≧3で一つ2^nの方が大きい地点があればそれ以降はずっと2^nの方が大きくなるって感じで考えました。

やっぱ指数と底を入れ替えた数の大小関係だとf(x)=(logx)/xのグラフの概形から考えるよねw

確率の全パターン待ってます！

両辺logを取って何やかんやしてn/2＞(logn)/(log2)すなわちn/2＞log₂n自然数nを実数xに拡張して両辺をそれぞれy=x/2,y=log₂xとするこれをグラフに表すと交点はx=2,4の点なのでn=1,n≧5

おはようございます。24日目！私は理系なのに帰納法しか思いつきませんでした…対数とってグラフで解く方法もやってみます。

あぁ、k秒の遅刻が許される時k+1の遅刻は許されて、1秒の遅刻は許されるから遅刻は何秒でも許されるってことね

増分（差分？）2回とって実質2回微分みたいなことしたらわりと簡単にいったな

受験生ではないけど初見な感じしなかったからやっぱ色んな旧帝の過去問に触れておくのは大事だなと思った

指数関数と二次関数だから「見るからに」一回追い抜かれたらもう二次関数に勝ち目がないなって直感的にわかるけど示すのはちょっと大変なんだなー

関数の最大最小ってグラフにして考えると楽そうですね。。。

logでもいいし、帰納法でもいいし、両辺をどっちかの式で割って割った後と1との評価で微分して導いてもいい。なんでもありだな

logとってnは自然数だから両辺2nで割ってn log nのグラフで比較するのかとおもた

やってみれば京大もこんなもんかって思うよね。

k>=5のとき (k-1)^2-2>0 は証明しなくてよいのか気になりました。今までは自明と思っていましたが、だったら元の問題もそうだと言える気がしてきてしまいます。どこまでが出題者に暗黙の了解として通じるのかルールはあるのでしょうか。

どっちも思いつきました！！

これそんまんま関数にすると減点くらいそう。前書きするかnに依存するxを考えてから自然数っていう条件にうまく当てはめる感じかな

自然数nじゃなくて実数xに拡張してから微分して考えるとよい．2^(1/2) > x^(1/x)

論述力を含む文章力が証明では必須なんだって話やね。帰納法の考え方ならば、高校受験生にでも理解できそうだからな。いちばん基本的なやり方って感じがする

類題です。｢2^(n+1)≧n^3をみたす正の整数nをもとめよ。｣

π^eとe^πに似てると思ったから即logとった

sin18°を求めよ（有名問題）【数学ⅡB標準問題精講】

(c) MathLABO〜東大発「みんなでつくる」数学ベスト良問集〜（マスラボ）　今回は参考書シリーズ！リクエストがあった 数学標準問題精講の良問を解説しました。 基礎的だけど良問、これが実は今週の問題に …

31日目！今日から夏期講習だけど、どんなに疲れててもMathLABOだけはサボらないように毎日見ます！

θ=18°っておくのがポイントだと思う　複素平面の問題でもよくやる

おもしろかったです！編集お疲れ様です！

図形か数式で解く判断は受験で必須だと思う！

参考書100冊か！！俺も適当にこれで良いだろレベルの授業しかしない学校の先生じゃなくて、宇佐美さんみたいなしっかり参考書なんかで問題見て常に自分のレベルを高めようとしてる先生になりたいと思った

わかりやすいーーー！！

数学の参考書クリアの良問やって欲しい！

sin(3θ)=sin(90°-2θ)=cos(2θ)=1-2sin²(θ)を使った。3次方程式になるけどすぐ解ける。

昔パスラボで解いた阪大の過去問で学んだ、有名角に帰着させて解く。という考えを持ちながら今回解けて成長を感じました。

高一なので数1ももっと扱ってほしいです🙏

36°72°72°どこかで見たな。と思ったら正五角形で出てくる(⌒-⌒; )(2)の解法と被りますが、超最短なら、黄金比つかってSin18＝(1/2)/[(1＋√5)/2]と出せるが、これはありなのか？

おはようございます。どちらかと言えば数式で解くことが多いですね。３倍角の公式は意外に使いでがあります。今日もありがとうございました。

θ=18°なら5θ=90°となるから、sin2θ=cos3θかなんかを使ってガチャガチャやります。

有名だろうけど、プラチカにのってる東大の図形と方程式の問題で固定使うやつはかなりの良問

複素数平面で解く時の解法を知りたいです

36°, 72°, 72°の二等辺三角形の比が1+√5/2 : 1+√5/2 : 1であることを知ってれば瞬殺だなぁ。黄金比が出てくる有名な三角形。

ふんっ、これで俺の中でのsin18°は既に有名角さ。

正五角形を書けば1/2Φなのは辺の比からわりに明らかで、見通しも立てやすくなります。

台湾人です台湾の参考書には図形の解けく方法はよく見える　でも数式の解けく方法はあんまり見たことはないｗｗｗ勉強になりました。このチャネルを見つけて本当に良かった

良問過ぎる